P4550 收集郵票 目錄

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題目

題目描述

有 n 種不同的郵票，皮皮想收集所有種類的郵票。唯一的收集方法是到同學凡凡那裡購買，每次只能買一張，並且買到的郵票究竟是 n 種郵票中的哪一種是等概率的，概率均為 1/n。但是由於凡凡也很喜歡郵票，所以皮皮購買第 k 次郵票需要支付 k 元錢。

現在皮皮手中沒有郵票，皮皮想知道自己得到所有種類的郵票需要花費的錢數目的期望。

輸入格式

一行，一個數字 N（N \le 10000）。

輸出格式

輸出要付出多少錢，保留二位小數。

輸入輸出樣例

輸入 #1

3

輸出 #1

21.25

思路

設\(f_i\)表示我們有\(i\)

種郵票,獲得剩下\(n-i\)種郵票所需要的期望購買次數.

顯然,有\(f_n=0\).

\[\begin{equation} \begin{aligned} f_i&=\frac{i}{n}f_i+\frac{n-i}nf_{i+1}+1\\ f_i&=f_{i+1}+\frac n{n-i} \end{aligned} \end{equation} \]

設\(g_i\)表示我們有\(i\)種郵票,獲得剩下\(n-i\)種郵票所需要的期望花費.

同樣的,\(g_n=0\).

\[\begin{equation} \begin{aligned} g_i &= \frac in\Big(f_i+g_i+1\Big)+\frac {n-i}n\Big(f_{i+1}+g_{i+1}+1\Big)\\ g_i &=\frac 1{n-i}\Big( i\cdot f_i+i\Big)\cdot \Big(f_{i+1}+g_{i+1}+1 \Big) \end{aligned} \end{equation} \]

答案即\(g_0\)

.

程式碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 10010;
double f[N] , g[N];
int main() {
	double n;
	cin >> n;
	for(int i = n - 1 ; i >= 0 ; i--) {
		f[i] = f[i + 1] + n / (n - i);
		g[i] = (i * f[i] + i) / (n - i) + (f[i + 1] + g[i + 1] + 1);
	}
	printf("%.2lf" , g[0]);
	return 0;
}