從Pauli算符看SU(2)與SO(3)

如果$U\in SU\left( 2 \right) $,對於任意一個\(2x2\)零跡厄密矩陣\(\sigma=\left( \begin{matrix} z& x-iy\\ x+iy& -z\\ \end{matrix} \right)\)，都有\(U\sigma U^\dagger\)仍舊是零跡厄密矩陣，即$U\sigma U^{\dagger}=\tilde{\sigma}=\left( \begin{matrix}
\tilde{z}& \tilde{x}-i\tilde{y}\
\tilde{x}+i\tilde{y}& -\tilde{z}\
\end{matrix} \right) \(。相當於\)

SU(2)\(的作用使得向量\)(x,y,z)\(變成了\)\left( \begin{array}{c}
\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z}\
\end{array} \right) \(. 而這對應著一個\)SO(3)\(的矩陣作用到向量\)(x,y,z)\(上，所以\)SU(2)\(與\)SO(3)\(有著某種對應關係，更進一步的，這種對應關係是兩個\)SU(2)\(元素對應著一個\)SO(3)$元素。

線性光學儀器中的SU(2)與SO(3)

線性光學儀器中也有這種對應關係。對於滿足玻色子對易關係的運算元:$$\begin{aligned}
&{\left[a_{i}, a_{j}\right]=\left[a_{i}^{\dagger}, a_{j}^{\dagger}\right]=0} \
&{\left[a_{i}, a_{j}^{\dagger}\right]=\delta_{i j}}
\end{aligned}$$。 我們可以構造這樣的三個運算元:$$\begin{aligned}
&J_{x}=\frac{1}{2}\left(a_{1}^{\dagger} a_{2}+a_{2}^{\dagger} a_{1}\right) \
&J_{y}=-\frac{i}{2}\left(a_{1}^{\dagger} a_{2}-a_{2}^{\dagger} a_{1}\right) \
&J_{z}=\frac{1}{2}\left(a_{1}^{\dagger} a_{1}-a_{2}^{\dagger} a_{2}\right)
\end{aligned}$$.容易發現他們三個具有這樣的對易關係:$$\begin{aligned}
&{\left[J_{x}, J_{y}\right]=i J_{z}} \
&{\left[J_{y}, J_{z}\right]=i J_{x}} \
&{\left[J_{z}, J_{x}\right]=i J_{y}}
\end{aligned}$$. 而對於任意一個\(SU(2)\)

元素作用在\(\left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ \end{array} \right)\)上，即$$\left( \begin{array}{c}
\tilde{a}_1\
\tilde{a}_2\
\end{array} \right) =U \left( \begin{array}{c}
a_1\
a_2\
\end{array} \right)$$.
我們有這相當於

\[\left( \begin{array}{c} \tilde{J}_x\\ \tilde{J}_y\\ \tilde{J}_z\\ \end{array} \right) =O\left( \begin{array}{c} J_x\\ J_y\\ J_z\\ \end{array} \right) $$, 其中$O\in SO\left( 3 \right) $。\]