http://poj.org/problem?id=2533

Longest Ordered Subsequence

給定ｎ個正整數，求最長上升子序列（LIS）長度（子序列中的元素不要求連續）.

解題報告

思路

經典的LIS問題，O(n^2)的樸素做法不多作介紹，僅僅介紹O(n logn)的做法。

對於n個元素的數組array，建立一個數組d[n]。

其中d[i]表示長度為i的子序列中最小的末尾元素為d[i]。

數組d顯然是升序的，可用反證法證明：

假設存在d[i]>=d[j]且i<j。

那麽由於i<j，那麽在d[j]結尾的子序列中，必然存在某個值array[k]<d[j]<=d[i]，使得以array[k]結尾的LIS長度為i，因而與假設矛盾。

根據d數組的升序性質，可以循環遍歷array數組：

對於遍歷到的array[i]，在d數組中二分查找最後一個小於array[i]的元素d[k]，那麽以array[i]結尾的LIS的長度則為k+1。同時更新d數組。

那麽時間復雜度就為O(n logn)

代碼

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int maxn = 1003;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int minNum[maxn];
 
int n;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    while (cin >> n) {
        memset(minNum, INF, sizeof(minNum));
        minNum[0] = -1;

        int num, len, ans = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> num;
            len = lower_bound(minNum, minNum + n, num) - minNum;
            
 
if(minNum[len] == num) len--;
            minNum[len] = min(minNum[len], num);
            ans = max(ans, len);
        }

        cout << ans << endl;
    }

    return 0;
}

動規(LIS)-POJ-2533