長度 span def back 超過 ans 時間 i++ 證明

3675: [Apio2014]序列切割

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Description

小H近期迷上了一個分隔序列的遊戲。在這個遊戲裏。小H須要將一個長度為n的非負整數序列切割成k+1個非空的子序列。為了得到k+1個子序列，小H須要反復k次下面的步驟： 1.小H首先選擇一個長度超過1的序列（一開始小H僅僅有一個長度為n的序列——也就是一開始得到的整個序列）。 2.選擇一個位置，並通過這個位置將這個序列切割成連續的兩個非空的新序列。 每次進行上述步驟之後。小H將會得到一定的分數。這個分數為兩個新序列中元素和的乘積。小H希望選擇一種最佳的切割方式。使得k輪之後。小H的總得分最大。

Input

輸入第一行包括兩個整數n，k（k+1≤n）。

第二行包括n個非負整數a1。a2，...。an（0≤ai≤10^4），表示一開始小H得到的序列。

Output

輸出第一行包括一個整數，為小H能夠得到的最大分數。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【例子說明】

在例子中，小H能夠通過例如以下3輪操作得到108分：

1．-開始小H有一個序列(4。1。3。4，0。2，3)。

小H選擇在第1個數之後的位置

將序列分成兩部分，並得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。

2．這一輪開始時小H有兩個序列：(4)，(1。3，4，0。2。3)。

小H選擇在第3個數

字之後的位置將第二個序列分成兩部分，並得到(1+3)×(4+0+2+

3)=36分。

3．這一輪開始時小H有三個序列：(4)。(1，3)，(4，0。2，3)。小H選擇在第5個

數字之後的位置將第三個序列分成兩部分，並得到(4+0)×(2+3)=

20分。

經過上述三輪操作，小H將會得到四個子序列：(4)，(1，3)，(4，0)。(2，3)並總共得到52+36+20=108分。

【數據規模與評分】

：數據滿足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

斜率優化DP

這裏有一個結論：終於得分是僅僅和分成那些序列有關，和切割的先後順序無關。

(將式子稍作化簡就能夠證明)

然後就能夠DP了：

f[i][j]表示到第i個數分成j組的最大得分。

則f[i][j]=max{f[k][j-1]+sum[k]*(sum[i]-sum[k])}，sum[k]是前綴和。

發現第二維是能夠省略的，狀態降到一維。節省了空間。

可是時間仍須要優化。考慮斜率優化。單調隊列維護下凸包。

詳細公式的變換詳見筆記本....

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define ll long long
#define maxn 100005
using namespace std;
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,h,t,q[maxn];
ll sum[maxn],f[maxn],g[maxn];
int main()
{
	n=read();m=read();
	F(i,1,n) sum[i]=sum[i-1]+read();
	while (m--)
	{
		F(i,1,n) g[i]=sum[i]*sum[i]-f[i];
		h=1;t=0;
		F(i,1,n)
		{
			while (h<t&&(g[q[t]]-g[q[t-1]])*(sum[i]-sum[q[t]])>=(g[i]-g[q[t]])*(sum[q[t]]-sum[q[t-1]])) t--;
			q[++t]=i;
			while (h<t&&g[q[h+1]]-g[q[h]]<(sum[q[h+1]]-sum[q[h]])*sum[i]) h++;
			f[i]=sum[q[h]]*sum[i]-g[q[h]];
		}
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}

bzoj3675【APIO2014】序列切割