coprime_sequence(互質序列)

問題描述

　　顧名思義，互質序列是滿足序列元素的 gcd 為 1 的序列。比如[1,2,3]，
[4,7,8]，都是互質序列。 [3,6,9]不是互質序列。現在並不要求你找出一個互質
序列，那樣太簡單了！真正的問題描述是：給定一個序列，刪除其中一個元素使
得剩下元素的 gcd 最大，輸出這個 gcd。

★數據輸入

　　輸入第一行為一個正整數 n。 第二行為 n 個正整數 ai(1<=ai<=10^9)。
80%的數據 2<=n<=1000.
100%的數據 2<=n<=100000.

★數據輸出
　　輸出一個正整數，表示最大的 gcd。

★Hint
　　最大公因數縮寫是 gcd。 gcd(a,b,c)=gcd(a,gcd(b,c)).

解題思路

　　暴力算法小規模可以,但是復雜度達到O(n^2)，大規模數據超時。因此必須采用更好的算法。

　　期初，我的想法是將從左到右算過的數據存下來，即開一個數組，將第1個數的gcd（本身）存在第1個位置，將第1~2個數的gcd存在第2個位置，1~3個數的gcd存在第3個位置，以此類推。

　　而其中第1~n個數的gcd可由gcd( 1~(n-1)的gcd , 第n個數 )求得 是遞推的過程，復雜度O(n)。

　　但僅僅這樣只比暴力節省一半時間。因此，仿照前面的過程，引入從右到左的gcd計算

　　開等長數組left[] right[] ，將 從左到右 和 從右到左 的gcd遞推計算結果分別存入left[] 與right[]

　　那麽除掉下標為 i 的數，其他數的為gcd( left[i-1] , right[i+1]) 首尾做特殊判斷

　　這樣遍歷一遍，就能找到gcd_max

code

 1 #include <stdio.h>
 2
 
 #include <stdlib.h>
 3 
 4 int p[100002] = {0};
 5 int left[100002] = {0};
 6 int right[100002] = {0};
 7 
 8 void swap(int &a, int &b)
 9 {
10     a ^= b;
11     b ^= a;
12     a ^= b;
13 }
14 
15 int Getgcd(int n, int m)
16 {
17     if (n < m) swap(n, m);
18     return n%m == 0 ? m : Getgcd(m, n%m);
19 }
20 
21 int main()
22 {
23 //    freopen("test.txt","r",stdin);
24     int n, i, j;
25     scanf("%d", &n);
26 //    int *p = (int *)malloc(sizeof(int)*n);
27     for (i = 0; i < n; i++)
28         scanf("%d", p + i);
29 
30     int gcd = -1;
31     for(i=0; i<n; i++) //for(i=0;i<n-1;i++)
32     {
33         if(i==0)
34             gcd = p[0];
35         else
36             gcd = Getgcd(p[i],left[i-1]);
37         left[i] = gcd;
38     }
39     for(i=n-1; i>=0; i--) //for(i=n-1;i>0;i--)
40     {
41         if(i==n-1)
42             gcd = p[n-1];
43         else
44             gcd = Getgcd(p[i],right[i+1]);
45         right[i] = gcd;
46     }
47 
48     int maxgcd = -1;
49     for(i=0; i<n; i++) // except p[i]
50     {
51         if(i==0)
52             gcd = right[1];
53         else if(i==n-1)
54             gcd = left[n-2];
55         else
56             gcd = Getgcd(left[i-1],right[i+1]);
57         if(gcd>maxgcd) maxgcd = gcd;
58     }
59     printf("%d\n",maxgcd);
60 
61 //    free(p);
62     return 0;
63 }

數據結構_coprime_sequence(互質序列)