題目描述

你第一天接手三鹿牛奶公司就發生了一件倒黴的事情：公司不小心發送了一批有三聚氰胺的牛奶。很不幸，你發現這件事的時候，有三聚氰胺的牛奶已經進入了送貨網。這個送貨網很大，而且關系復雜。你知道這批牛奶要發給哪個零售商，但是要把這批牛奶送到他手中有許多種途徑。送貨網由一些倉庫和運輸卡車組成，每輛卡車都在各自固定的兩個倉庫之間單向運輸牛奶。在追查這些有三聚氰胺的牛奶的時候，有必要保證它不被送到零售商手裏，所以必須使某些運輸卡車停止運輸，但是停止每輛卡車都會有一定的經濟損失。你的任務是，在保證壞牛奶不送到零售商的前提下，制定出停止卡車運輸的方案，使損失最小。

輸入輸出格式

第一行: 兩個整數N(2<=N<=32)、M(0<=M<=1000), N表示倉庫的數目，M表示運輸卡車的數量。倉庫1代 表發貨工廠，倉庫N代表有三聚氰胺的牛奶要發往的零售商。 第2..M+1行: 每行3個整數Si,Ei,Ci。其中Si,Ei表示這 輛卡車的出發倉庫，目的倉庫。Ci(0 <= C i <= 2,000,000) 表示讓這輛卡車停止運輸的損失。

兩個整數C、T：C表示最小的損失，T表示在損失最小的前提下，最少要停止的卡車數。

輸入輸出樣例

4 5
1 3 100
3 2 50
2 4 60
1 2 40
2 3 80

60 1

說明

題目翻譯來自NOCOW。

USACO Training Section 4.4

Solution：

　　簡單講，本題給出了邊的權值，要求最小的代價使得1和n不連通。這不就是最小割嘛！我們直接把1當作S，n當作T。

　　但因為本題既要輸出最小割的值又要輸出割的邊數，前者好求關鍵是後者如何去求更簡單，容易想到我們可以直接建兩次圖，一次按原邊權建圖跑最大流求得最小割，再按邊權為1建圖跑最大流求割的邊數，這是一種思路;

　　當然我們完全可以換種思路用一次最大流搞定，只需建圖時將邊權w=w*a+1（w為本來的邊權，a為大於1000的數），這樣我們能求得最大流ans，則最小割的值為ans/a，割的邊數為ans%a。這很容易理解，但是還是解釋一下：因為最小割的邊集中有w1+w2+w3…+wn=ans（這個ans為本來的最小割），所以必然有w1*a+w2*a+w3*a…+wn*a=ans*a，於是必然有w1*a+1+w2*a+1+w3*a+1…+wn*a+1=ans*a+k(k為最小割的邊數，k<=m<=1000)，這樣就很明顯了，因為邊數m不大於1000，所以k的最大值為1000，我們只要使設定的a的值大於1000，那麽按上述方法建圖，跑出的最大流除以a就是最小割的值ans，最大流模a就是最小割的邊數k。

代碼：

 1 // luogu-judger-enable-o2
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define il inline
 4 #define ll long long 
 5 #define debug printf("%d %s\n",__LINE__,__FUNCTION__)
 6 using namespace std;
 7 const ll N=100005,inf=233333333333333,mod=2018;
 8 ll n,m,s,t,h[100],dis[2005],cnt=1;
 9 ll ans;
10 struct edge{
11 ll to,net;ll v;
12 }e[N];
13 il void add(ll u,ll v,ll w)
14 {
15     e[++cnt].to=v,e[cnt].net=h[u],e[cnt].v=w,h[u]=cnt;
16     e[++cnt].to=u,e[cnt].net=h[v],e[cnt].v=0,h[v]=cnt;
17 }
18 queue<ll>q;
19 il bool bfs()
20 {
21     memset(dis,-1,sizeof(dis));
22     q.push(s),dis[s]=0;
23     while(!q.empty())
24     {
25         int u=q.front();q.pop();
26         for(int i=h[u];i;i=e[i].net)
27         if(dis[e[i].to]==-1&&e[i].v>0)dis[e[i].to]=dis[u]+1,q.push(e[i].to);
28     }
29     return dis[t]!=-1;
30 }
31 il ll dfs(ll u,ll op)
32 {
33     if(u==t)return op;
34     ll flow=0,used=0;
35     for(int i=h[u];i;i=e[i].net)
36     {
37         int v=e[i].to;
38         if(dis[v]==dis[u]+1&&e[i].v>0)
39         {
40             used=dfs(v,min(op,e[i].v));
41             if(!used)continue;
42             flow+=used,op-=used;
43             e[i].v-=used,e[i^1].v+=used;
44             if(!op)break;
45         }
46     }
47     if(!flow)dis[u]=-1;
48     return flow;
49 }
50 int main()
51 {
52     scanf("%lld%lld",&n,&m);s=1,t=n;
53     ll u,v;ll w;
54     for(int i=1;i<=m;i++)
55     {
56         scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
57         add(u,v,w*mod+1);
58     }
59     while(bfs())ans+=dfs(s,inf);
60     printf("%lld %lld\n",ans/mod,ans%mod);
61     return 0;
62 }

洛谷 P1344 [USACO4.4]追查壞牛奶Pollutant Control