數學-線性代數導論-#9 Ax=b的解:存在性、解法、解的數量、解的結構
線性代數導論-#9 Ax=b的解:存在性、解法、解的結構、解的數量
終於,我們在b為參數的一般情況下,開始分析Ax=b的解,包括標題中的四個方面。
首先是解的存在性。
從幾何上說,當且僅當向量b位於列空間C(A)內時,Ax=b有解;
從代數上說,不能出現類似於“非0數=0”的矛盾方程:
1.這為我們判定是否有解提供了一個簡便的途徑:
根據Gauss消元法中對A和b進行行變換的同步性,行的相同線性組合其值一定相同。
所以加入A中各行可以通過簡單的線性組合得到零行,而b進行相同線性組合的結果非0,則該方程組一定無解。
2.這為我們面對b為參數的一般情況進行的分類討論提供了依據:
當我們使用Gauss消元法得到A中的零行時,回代前應該針對零行所對應的新b值是否為0進行分類討論。
其次是解法、解的數量和解的結構,這裏要求我們遷移之前解Ax=0的知識。
解法和解Ax=0大致相同。使用Guass消元法,確定主元,進一步確定主元變量和自由變量。
1.求出特解Xp:
置全部自由變量為0(簡化運算),回代解出主元變量,得到Ax=b的一個解;
2.解出Ax=0的全部解XN:
也即基向量的全部線性組合,含有1或2個常數c;
3.通解X=Xp+XN:
因為A(Xp+XN)=AXp+AXN=b+0=b,這也就是所謂“解的結構”,通解由一個特解和零空間內的全部向量組成。
從幾何上說,解空間由零空間平移得到。
但是,這種方法存在缺陷,不通用。問題就出在第一步。
如果沒有自由變量怎麽辦?那後續的方法如何進行?解的結構還是那兩個部分嗎?
還有,如果根本就沒有解,怎麽辦?
為了確定解的存在性;為了確定自由變量的個數,發掘其與解的數量及與之相對應的結構的關系,我們需要研究秩的概念。
之前已經提及,秩r=主元數。
如何利用r判定一個由m*n矩陣A構成的方程Ax=b的解的數量呢?
關鍵是:
1.自由變量的個數n-r(主元不同列),即r與n的相對關系;
2.零行(可能出現“非0數=0”的矛盾情況)的個數m-r(主元不同行以及主元非0),即r與m的相對關系;
綜合考慮,只可能出現以下四種情況(根據主元選取規則,r顯然小於等於m和n):
1.r=m=n(”滿秩”),一定有唯一解:
(1)沒有零行,一定有解;
(2)沒有自由變量,解唯一(回代之後解出)。
2.r=m且r<n(“行滿秩”),一定有無窮多個解:
(1)沒有零行,一定有解;
(2)有自由變量,有無窮多個解;
3.r<m且r=n(“列滿秩”),解的個數為0或1:
(1)有零行,可能無解;
(2)沒有自由變量,如果有解,則解唯一;
4.r<m且r<n,解的個數為0或無窮大:
(1)有零行,可能無解;
(2)有自由變量,如果有解,則有無窮多個解。
r與m,n的相對關系可以作為判據,檢查我們求出的解正確與否(是否存在以及是否完備)。
數學-線性代數導論-#9 Ax=b的解:存在性、解法、解的數量、解的結構