題目背景

大家都知道，斐波那契數列是滿足如下性質的一個數列：

• f(1) = 1

• f(2) = 1

• f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 為整數)

題目描述

請你求出 f(n) mod 1000000007 的值。

輸入輸出格式

·第 1 行：一個整數 n

第 1 行： f(n) mod 1000000007 的值

輸入輸出樣例

5

5

10

55
 

說明

對於 60% 的數據： n ≤ 92

對於 100% 的數據： n在long long(INT64)範圍內。

Solution：

本題算是矩陣加速的模板題，而矩陣加速我好像寫過博客，這裏稍微提一下我的理解。首先求出線性通項遞推式，然後構造矩陣，套用快速冪的思想，便能快速求出第n項了。復雜度是O(r²logn)，其中r為矩陣的邊長，顯然r越小越好，幾乎可以當作一個常數。

好了說說斐波拉契的遞推式：F[n]=F[n-1]+F[n-2]，F[1]=F[2]=1。

於是可以構造初始矩陣 \begin{bmatrix} F[2]=1 & F[1]=1\end{bmatrix} 以及

代碼：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define il inline
 3 #define ll long long
 4 #define debug printf("%d %s\n",__LINE__,__FUNCTION__)
 5 using namespace std;
 6 const int mod=1e9+7;
 7 ll n;
 8 struct mat{ll a[2
 
][2],r,c;};
 9 il mat mul(mat x,mat y)
10 {
11     mat p;
12     memset(&p,0,sizeof(p));
13     for(int i=0;i<x.r;i++)
14         for(int j=0;j<y.c;j++)
15             for(int k=0;k<x.c;k++)
16     p.a[i][j]=(p.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;
17     p.r=x.r,p.c=y.c;
18     return p;
19 }
20 il void fast(ll k)
21 {
22     mat p,ans;
23     memset(&p,0,sizeof(p));
24     memset(&ans,0,sizeof(ans));
25     p.r=p.c=2;
26     p.a[0][0]=p.a[0][1]=p.a[1][0]=1;
27     ans.r=1,ans.c=2;
28     ans.a[0][0]=ans.a[0][1]=1;
29     int cnt=0;
30     while(k){
31         if(k&1){ans=mul(ans,p);}
32         p=mul(p,p);
33         k>>=1;
34     }
35     cout<<ans.a[0][0];
36 }
37 int main()
38 {
39     ios::sync_with_stdio(0);
40     cin>>n;
41     if(n<=2)cout<<1;
42     else fast(n-2);
43     return 0;
44 }

P1962 斐波那契數列