題鏈

我們註意給定n*m的矩形，直線穿過的點為 n+m-gcd（n，m）；

n+m=k+gcd(n,m); 故 gcd（n，m）| k

且 n/gcd（n，m）+m/gcd（n，m）=k/gcd(n,m)+1;

n/gcd（n，m）與 m/gcd（n，m）互質。

故我們枚舉 gcd ，那麽我們發現對於固定的gcd，（我們記歐拉函數為fi（x））

n，m的對數=fi （k/gcd+1）

不過這是有重復的，最後+1再除2就好了。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 3000007
using namespace
 
 std;
int u[N],pim[N>>1],tot,n;
void pre() {
    for (int i=2;i<N;i++) {
        if (!u[i]) u[i]=i-1,pim[++tot]=i;
        for (int j=1;j<=tot&&pim[j]*i<N;j++) {
             if (i%pim[j]) u[i*pim[j]]=u[i]*(pim[j]-1);
             else  { u[i*pim[j]]=u[i]*pim[j]; break; }
        }
    }
}
 
long long ans;
signed main () {
    scanf("%d",&n);
    pre();
    for (int i=1;i*i<=n;i++) 
    if (n%i==0)  
     if (i*i==n) ans+=u[i+1];
    else ans+=u[i+1]+u[n/i+1];
    printf("%lld",ans+1>>1);
}

付公主的矩形