第一部分：矩陣的基礎知識

1.結合性 （AB)C=A(BC）．

2.對加法的分配性 （A+B)C=AC+BC，C(A+B）=CA+CB ．

3.對數乘的結合性 k(AB）=（kA)B =A(kB）．

4.關於轉置 (AB)‘=B‘A‘．

一個矩陣就是一個二維數組，為了方便聲明多個矩陣，我們一般會將矩陣封裝一個類或定義一個矩陣的結構體，我采用的是後者。（弱雞的我也直只會用結構體實現）

第二部分：矩陣相乘

若A為n×k矩陣，B為k×m矩陣，則它們的乘積AB(有時記做A·B)將是一個n×m矩陣。前一個矩陣的列數應該等於後一個矩陣的行數，得出的矩陣行數等於前一個矩陣的行數，列數等於後一個矩陣的行數。

其乘積矩陣AB的第i行第j列的元素為：

舉例：A、B均為3*3的矩陣：C=A*B，下面的代碼會涉及到兩種運算順序，第一種就是直接一步到位求，第二種就是每次求一列，比如第一次，C00+=a00*b00,C01+=a00*b01……第二次C00+=a00*b10，C01+=a01*b11……以此類推。。。

C00 = a00*b00 + a01*b10 + a02*b20
C01 = a00*b01 + a01*b11 + a02*b21
C02 = a00*b02 + a01*b12 + a02*b22
C10 = a10*b00 + a11*b10 + a12*b20
C11 = a10*b00 + a11*b11 + a12*b21
C12 = a10*b02 + a11*b12 + a12*b22

第三部分：矩陣快速冪 //其實和普通快速冪類似，只不過這裏需要得到的是一個矩陣

神馬是冪？【很多時候會被高大上的名字嚇到。。。導致學習效率降低。。。其實沒辣麽可怕，很簡單！！！】

冪又稱乘方。表示一個數字乘若幹次的形式,如n個a相乘的冪為a^n ，或稱a^n為a的n次冪。a稱為冪的底數，n稱為冪的指數。——引自.度娘百科

這類題，指數都是很大很大很大很大很大很大很大的。。。霸王硬上弓的話，很容易超時的 T_T 。。。所以得快速冪→_→

學過之後發現，其實矩陣快速冪 的核心思想跟 以前學過的快速冪取模非常非常相似，只是矩陣乘法需要另外寫個函數，就是上面那個代碼。。。

快速冪的思路就是：

設A為矩陣，求A的N次方，N很大，1000000左右吧。。。

先看小一點的，A的9次方

A^9

= A*A*A*A*A*A*A*A*A 【一個一個乘，要乘9次】

= A*(A*A)*(A*A)*(A*A)*(A*A)【保持格式的上下統一，所以加上這句】

= A*(A^2)^4 【A平方後，再四次方，還要乘上剩下的一個A，要乘6次】

= A*((A^2)^2)^2【A平方後，再平方，再平方，還要乘上剩下的一個A，要乘4次】

也算是一種二分思想的應用吧，1000000次冪，暴力要乘1000000次，快速冪就只要（log2底1000000的對數） 次，大約20次。。。這。。。我沒錯吧。。。

單位矩陣： n*n的矩陣 mat ( i , i )=1; 任何一個矩陣乘以單位矩陣就是它本身 n*單位矩陣=n， 可以把單位矩陣等價為整數1。（單位矩陣用在矩陣快速冪中）

例如下圖就是一個7*7的單位矩陣：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn = 100 + 10;
 4 int MOD;
 5 struct Mat
 6 {
 7     int a[maxn][maxn];
 8     int n, m;//n為行數，m為列數
 9     Mat(int n, int m):n(n), m(m)
10     {
11         memset(a, 0, sizeof(a));
12     }
13     void init()
14     {
15         for(int i = 0; i < n; i++)a[i][i] = 1;//初始化成單位矩陣
16     }
17     void output()
18     {
19         for(int i = 0; i < n; i++)
20         {
21             for(int j = 0; j < m; j++)
22             {
23                 cout<<a[i][j]<<" ";
24             }
25             cout<<endl;
26         }
27     }
28 };
29 Mat mul(Mat a, Mat b)//矩陣乘法
30 {
31     Mat tmp(a.n, b.m);//矩陣乘法結果矩陣行數為a的行數，列數為b的列數
32     for(int i = 0; i < a.n; i++)
33     {
34         for(int j = 0; j < b.m; j++)
35         {
36             for(int k = 0; k < a.m; k++)//a.m == b.n(乘法的前提條件)
37             {
38                 tmp.a[i][j] += (a.a[i][k] * b.a[k][j] % MOD);
39                 tmp.a[i][j] %= MOD;
40             }
41         }
42     }
43     return tmp;
44 }
45 Mat pow(Mat a, int n)
46 {
47     Mat tmp(a.n, a.m);
48     tmp.init();
49     while(n)
50     {
51         if(n & 1)tmp = mul(tmp, a);
52         n /= 2;
53         a = mul(a, a);
54     }
55     return tmp;
56 }

矩陣快速冪模板