集合的概念

一般地我們把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構成集合，因為它的元素不是確定的。

我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就說a屬於A，記作：a∈A，否則就說a不屬於A，記作：aA。

⑴、全體非負整數組成的集合叫做非負整數集（或自然數集）。記作N

⑵、所有正整數組成的集合叫做正整數集。記作N⁺或N₊。

⑶、全體整數組成的集合叫做整數集。記作Z。

⑷、全體有理數組成的集合叫做有理數集。記作Q。

⑸、全體實數組成的集合叫做實數集。記作R。

集合的表示方法

⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，並用“｛｝”括起來表示集合

⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。

集合間的基本關系

⑴、子集：一般地，對於兩個集合A、B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記作A B（或B A）。。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時集合A中的元素與集合B中的元素完全一樣，因此集合A與集合B相等，記作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個元素屬於B但不屬於A，我們稱集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作 ，並規定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之間的基本關系，可以得到下面的結論：

①、任何一個集合是它本身的子集。即A A

②、對於集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。

③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本運算

⑴、並集：一般地，由所有屬於集合A或屬於集合B的元素組成的集合稱為A與B的並集。記作A∪B。（在求並集時，它們的公共元素在並集中只能出現一次。）

即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。

⑵、交集：一般地，由所有屬於集合A且屬於集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作A∩B。

即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。

⑶、補集：

①全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那麽就稱這個集合為全集。通常記作U。

②補集：對於一個集合A，由全集U中不屬於集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對於全集U的補集。簡稱為集合A的補集，記作C_UA。

即C_UA＝｛x|x∈U，且x A｝。

集合中元素的個數

⑴、有限集：我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。

⑵、用card來表示有限集中元素的個數。例如A＝｛a,b,c｝，則card(A)=3。

⑶、一般地，對任意兩個集合A、B，有

card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)

第一階段 高等數學——集合