含參不等式的解法【主要是二次不等式】
一、二次不等式
\(\fbox{例1}\) (數字系數的二次不等式)
解關於\(x\)的不等式\(-x^2+4x-3 \ge 0\)
\(\fbox{例2}\) (含參數的二次不等式,一動根一靜根)
解關於\(x\)的不等式\((x-2)[x-(3a+1)]<0\)
\(\fbox{例3}\) (含參數的二次不等式,兩動根)
解關於\(x\)的不等式\(x^2-\cfrac{a}{2}x-\cfrac{a^2}{2}<0\)
分析:將原不等式等價轉化為\((x-a)(x+\cfrac{a}{2})<0\),令\((x-a)(x+\cfrac{a}{2})=0\),則方程的兩個根為\(x=-\cfrac{a}{2}\)
當\(-\cfrac{a}{2}<a\)時,即\(a>0\)時,不等式的解集為\((-\cfrac{a}{2},a)\);
當\(-\cfrac{a}{2}=a\)時,即\(a=0\)時,不等式的解集為\(\varnothing\);
當\(-\cfrac{a}{2}>a\)時,即\(a<0\)時,不等式的解集為\((a,-\cfrac{a}{2})\);
\(\fbox{例4}\) (含參數的二次不等式,兩動根)
解關於\(x\)的不等式\(x^2-(a^2+a)x+a^3\leq 0\)
分析:將原不等式等價轉化為\((x-a^2)(x-a)\leq 0\)
\(1^{\circ}\) 當\(a^2>a\),即\(a<0\)或\(a>1\)時,解集為\([a,a^2]\);
\(2^{\circ}\) 當\(a^2=a\),即\(a=0\)或\(a=1\)時,解集為\(\{0,1\}\);
\(3^{\circ}\) 當\(a^2<a\),即\(0<a<1\)時,解集為\([a^2,a]\);
綜上所述,當\(a<0\)或\(a>1\)時,解集為\([a,a^2]\);當\(a=0\)或\(a=1\)時,解集為\(\{0,1\}\);當\(0<a<1\)
\(\fbox{例5}\) (含參數的二次不等式,兩動根)
解關於\(x\)的不等式\(\cfrac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0\).
分析:
當\(a=1\)時,
當\(a\neq 1\)時,
二、能轉化為含有參數的二次不等式
設函數\(f(x)=\cfrac{1}{2}{x^2}+aln(1+x)\).
(Ⅰ)討論\(f(x)\)的單調性;
【分析】(Ⅰ)利用導數轉化為求解含有參數a的不等式,給導函數的分子配方就能找到分類討論的標準。
【解答】(Ⅰ)導數法研究單調性,先求出定義域\((-1,+\infty)\),
\(f'(x)=x+\cfrac{a}{x+1}=\cfrac{x(x+1)+a}{x+1}\)
\(=\cfrac{x^2+x+a}{x+1}\)
\(=\cfrac{(x+\cfrac{1}{2})^2+a-\cfrac{1}{4}}{x+1}\),
①當\(a≥\cfrac{1}{4}\)時,\(f'(x)≥0\)恒成立,且當\(a=\cfrac{1}{4}\)時僅僅在\(x=-\cfrac{1}{2}\)處取到等號,故函數\(f(x)\)在\((-1,+∞)\)上單調遞增;
②當\(a<\cfrac{1}{4}\)時,令\(x^2+x+a=0\),得到\(x=\cfrac{-1±\sqrt{1-4a}}{2}\),接下來將其中的小根和-1作比較,
當\(-1<\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}\)時,即\(0<a<\cfrac{1}{4}\)時,
\(x\in (-1,\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2})\)時,\(f'(x)>0\),\(f(x)\)單調遞增,
\(x\in(\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2},\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)時,\(f'(x)<0\),\(f(x)\)單調遞減,
\(x\in(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2},+\infty)\)時,\(f'(x)>0\),\(f(x)\)單調遞增,
當\(-1=\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}\)時,即\(a=0\)時,\(x\in (-1,\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)時,\(f'(x)<0\),\(f(x)\)單調遞減,\(x\in(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2},+\infty)\)時,\(f'(x)>0\),\(f(x)\)單調遞增,
當\(-1>\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}\)時,即\(a<0\)時,\(x\in(-1,\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\)時,\(f'(x)<0\),\(f(x)\)單調遞減,\(x\in(\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2},+\infty)\)時,\(f'(x)>0\),\(f(x)\)單調遞增,
綜上所述,當\(a≥\cfrac{1}{4}\)時,函數\(f(x)\)的單調遞增區間為\((-1,+∞)\),無單調遞減區間;
當\(0<a<\cfrac{1}{4}\)時,單調遞增區間為\((-1,\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2})\)和\((\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2},+\infty)\),單調遞減區間為\((\cfrac{-1-\sqrt{1-4a}}{2},\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\);
當\(a≤0\)時,單調遞減區間為\((-1,\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2})\),單調遞增區間為\((\cfrac{-1+\sqrt{1-4a}}{2},+\infty)\);
三、關於二次不等式的恒成立問題
角度一 形如\(f(x)\ge 0(f(x)\leq 0)(x\in R)\)型的不等式確定參數範圍
\(\fbox{例3}\)(2017銅川模擬)不等式\(a^2+8b^2\ge \lambda b(a+b)\)對於任意的\(a,b\in R\)恒成立,則實數\(\lambda\)的取值範圍為_____________。
法1:(將\(b\)和\(\lambda\)看做系數)將不等式轉化為\(a^2-\lambda ba+8b^2-\lambda b^2\ge 0\)對任意的\(a\in R\)恒成立,則\(\Delta =b^2\lambda^2-4(8b^2-\lambda b^2)=b^2(\lambda^2+4\lambda-32)\leq 0\),解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。
法2:當\(b=0\)時,即\(a^2\ge 0\)恒成立,\(\lambda\in R\);
當\(b\neq 0\)時,原不等式等價於\((\cfrac{a}{b})^2+8\ge \lambda (\cfrac{a}{b})+\lambda\),令\(\cfrac{a}{b}=t\in R\),即\(t^2-\lambda t+8-\lambda\ge 0\)對任意的\(t\in R\)恒成立,則\(\Delta =(\lambda)^2-4(8-\lambda)\leq 0\),解得\(-8\leq \lambda \leq 4\)。
綜上所述(兩種情況取交集),實數\(\lambda\)的取值範圍為\(-8\leq \lambda \leq 4\)。
角度二 形如\(f(x)\ge 0(x\in[a,b])\)型的不等式確定參數範圍
\(\fbox{例4}\) 設函數\(f(x)=mx^2-mx-x(m\neq 0)\),若對於\(x\in [1,3]\),\(f(x)<-m+5\)恒成立,求\(m\)的取值範圍。
法1:利用二次函數求解,要使\(f(x)<-m+5\)恒成立,即\(mx^2-mx+m-6<0\),即\(m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6<0\)在\(x\in[1,3]\)上恒成立,令\(g(x)=m(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}x-6,x\in [1,3]\),
當\(m>0\)時,\(g(x)\)在\([1,3]\)上是增函數,所以\(g(x)_{max}=g(3)=7m-6<0\), 解得\(m<\cfrac{6}{7}\),則有\(0<m<\cfrac{6}{7}\);
當\(m<0\)時,\(g(x)\)在\([1,3]\)上是減函數,所以\(g(x)_{max}=g(1)=m-6<0\), 解得\(m<6\),則有\(m<0\);
綜上所述,\(m\)的取值範圍是\((-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})\)。
法2:分類參數法,因為\(x^2-x+1>0\),由\(f(x)<-m+5\)可得\(m(x^2-x+1)-6<0\),故有\(m<\cfrac{6}{x^2-x+1}\)恒成立,
又因為函數\(y=\cfrac{6}{x^2-x+1}=\cfrac{6}{(x-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{3}{4}}\)在區間\([1,3]\)上的最小值為\(\cfrac{6}{7}\),故只需\(m<\cfrac{6}{7}\)即可,
又因為\(m\neq 0\),所以\(m\)的取值範圍是\((-\infty,0)\cup(0,\cfrac{6}{7})\)。
角度三 形如\(f(x)\ge 0(參數m\in[a,b])\)型的不等式確定參數範圍
\(\fbox{例5}\)已知\(a\in[-1,1]\)時不等式\(x^2+(a-4)x+4-2a>0\)恒成立,則\(x\)的取值範圍是多少?
分析:主輔元換位,把不等式的左端看成關於\(a\)的一次函數,記為\(f(a)=(x-2)a+x^2-4x+4\),則由\(f(a)>0\)對於任意的\(a\in[-1,1]\)恒成立,只需\(\begin{cases}f(-1)>0\\f(1)>0\end{cases}\)即可,即\(\begin{cases}x^2-5x+6>0\\x^2-3x+2>0\end{cases}\),解得\(x<1\)或\(x>3\),則\(x\)的取值範圍是\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\).
四、對應練習:
1、(2017新余模擬)不等式\(x^2-2x+5\ge a^2-3a\)對任意實數\(x\)恒成立,則實數\(a\)的取值範圍是
分析:令\(a^2-3a=A\),\(x^2-2x+5=f(x)\),則轉化為\(f(x)\ge A\)對任意實數恒成立,即需要求解\(f(x)_{min}\);
2、已知不等式\(x^2-2x+a>0\)對任意實數\(x\in[2,3]\)恒成立,則實數\(a\)的取值範圍是___________.
分析:分離參數得到\(a>-x^2+2x\)對任意實數\(x\in[2,3]\)恒成立,即需要求函數\(f(x)=-x^2+2x,x\in[2,3]\)的\(f(x)_{max}\),\(f(x)=-(x-1)^2+1,x\in[2,3]\),故\(f(x)_{max}=f(2)=0\),則得到\(a>0\).
3、已知函數\(f(x)=-x^2+ax+b^2-b+1(a\in R,b\in R)\),對任意實數\(x\)都有\(f(1-x)=f(1+x)\)成立,若當\(x\in[-1,1]\)時,\(f(x)>0\)恒成立,則\(b\)的取值範圍是_____________.
分析:先由\(f(1-x)=f(1+x)\)得到,二次函數的對稱軸\(x=-\cfrac{a}{-2}=1\),解得\(a=2\),
故題目轉化為\(-x^2+2x+b^2-b+1>0\)對任意\(x\in [-1,1]\)恒成立,
用整體法分離參數,得到\(b^2-b>x^2-2x-1\)對任意\(x\in[-1,1]\)恒成立。
令\(g(x)=x^2-2x-1,x\in[-1,1]\),需要求函數\(g(x)_{max}\);
\(g(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2,x\in[-1,1]\),故\(g(x)\)在區間\([-1,1]\)上單調遞減,則\(g(x)_{max}=g(-1)=2\),
故\(b^2-b>2\),解得\(b<-1\)或\(b>2\)。
含參不等式的解法【主要是二次不等式】