我們經常要用到前綴和。

一維：

for(int i=1;i<=n;i++)
b[i]=b[i-1]+a[i];

二維：

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
         b[i][j]=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1]+a[i][j];

那如果是三維的呢？

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int k=1;k<=p;k++)
              b[i][j][k]
 
=b[i-1][j][k]+b[i][j-1][k]+b[i][j][k-1]
                            -b[i-1][j-1][k]-b[i-1][j][k-1]-b[i][j-1][j-1]
                            +b[i-1][j-1][k-1]

其實就是一個容斥。

但是，隨著維度t變高，容斥的復雜度是2^t，總復雜度O(n^t*2^t不能承受。

我們還有一個方法：

一維：

for(int i=1;i<=n;i++) 
    a[i]+=a[i-1];

二維：

for(int i=1;i<=n;i++)
    
 
for(int j=1;j<=m;j++)
        a[i][j]+=a[i][j-1];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        a[i][j]+=a[i-1][j];

這個意思就是，第一遍前綴和，每個位置a[i][j]是，i行前j個的和。

第二遍，就把前面所有行的和加過來了。

分兩遍達到目的。看似麻煩。

那三維呢？

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int p=1;p<=k;p++)
        a[i][j][k]
 
+=a[i-1][j][k];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int p=1;p<=k;p++)
        a[i][j][k]+=a[i][j-1][k];
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        for(int p=1;p<=k;p++)
        a[i][j][k]+=a[i][j][k-1];

其實和二維的理解是一樣的。再來一遍，把第三維的和加過去。

但是，這個三維只要3次，也就是說，對於t維，其實只要O(n^t*t)復雜度就很低了。

其實我們實際解題中，經常用的是n=2的情況。

比如，

例題：

1.部分和（牛客網NOIP賽前集訓營-普及組（第四場））

for(int i=0;i<w;i++){
    for(int j=0;j<(1<<w);j++){
        if(j&(1<<i)) f[j]+=f[j^(1<<w)]; 
    }
}

本題：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=(1<<21);
ll a[N];
int n;
int main(){
    scanf("%d",&n);int p=0;
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1){p++;
        for(int j=0;j<n;j++){
            if((j&(1<<p-1))) a[j]+=a[(j^(1<<p-1))];
        }
    }for(int i=0;i<n;i++) printf("%lld\n",a[i]);return 0;
}

復雜度和高維前綴和一樣；O(2^t*t)

高維前綴和