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　　　　　　by ysy

【題目描述】

給定一個長度為n的數列，每次你可以進行以下操作之一：

(1)將一個數+a；

(2)將一個數-a；

(3)將一個數+b；

(4)將一個數-b；

你需要將所有數全部變為0，求最小操作數。

【輸入數據】

第一行三個整數n,a,b，第二行n個整數x₁~x_n表示數列。

【輸出數據】

一行一個整數表示答案。無解輸出-1。

【樣例輸入】

2 2 3

1 2

【樣例輸出】

3

【數據範圍】

對於10%的數據，n,a,b,|x_i|<=1000。

對於30%的數據，n,a,b<=1000。

對於另外10%的數據，a=1。

對於另外10%的數據，a=2，b=3。

對於100%的數據，1<=n<=10⁵，1<=a,b<=10⁹，|x_i|<=10⁹。

【題解思路】

很容易轉化成數學模型：ax+by = c，使(|x|+|y|)min。

對於方程ax+by = c，我們可以用exgcd求出一組解。

當a,b互質時，保證ax+by = c有解。

設d = gcd(a,b).a/d*x+b/d*y = c/d;

此時可求出一組特解：x‘，y‘。

則ax+by = c的通解可以表示為：x = c/d * x‘ + k * b/d,y = c/d * y‘ - k * a/d;

然後如何使(|x|+|y|)min。考慮到對於上述通解，我們可以打表或意念理解，這是個單峰函數。

即存在唯一且確定值k，使得|c/d*x‘ + k*b/d|+|c/d*y‘ - k* a/d|最小，盡可能使絕對值接近零，那麽對於這兩個數使得x取得最小的正數或最大的負數（絕對值盡量接近0）。

時間復雜度 O(nlog|xi|)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define rep(k,i,j) for(int k = i;k <= j; ++k) 
#define FOR(k,i,j) for(int k = i;k >= j; --k)
inline 
 
int read(){
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,a,b,k;
inline void exgcd(int a,int b,int m,ll &x,ll &y){
    if(!b) x = m/a,y = 0;
    else {
        exgcd(b,a%b,m,x,y);
        swap(x,y);
        y -= a/b*x;
    }
}
inline int gcd(int a,int b){return b ? gcd(b,a%b) : a;}
ll x,y,p;
int main(){
    freopen("array.in","r",stdin);
    freopen("array.out","w",stdout);
    n = read(),a = read(),b = read();
    k = gcd(a,b);
    a /= k,b /= k;
    if(a<b) swap(a,b);
    rep(i,1,n){
        int j = read();
        if(j%k) printf("-1\n"),exit(0);
        exgcd(a,b,j/k,x,y);
        if(y<0) {
            x -= b*((-y)/a+1);
            y += a*((-y)/a+1);
        }
        x += b*(y/a);
        y -= a*(y/a);
        p += min(abs(x)+abs(y),abs(x+b)+abs(y-a));
    }
    printf("%lld\n",p);
    return 0;
} 
/*
2 2 3
1 2
*/

noip模擬【array】