【bzoj3811】【清華集訓2014】瑪裡苟斯
阿新 • • 發佈:2018-11-03
3811: 瑪裡苟斯
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 256 MBSubmit: 500 Solved: 196
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Description
魔法之龍瑪裡苟斯最近在為加基森拍賣師的削弱而感到傷心,於是他想了一道數學題。 S 是一個可重集合,S={a1,a2,…,an}。 等概率隨機取 S 的一個子集 A={ai1,…,aim}。 計算出 A 中所有元素異或 x, 求 xk 的期望。
Input
第一行兩個正整數 n, k。 以下 n 行每行一個整數,表示 ai。
Output
如果結果是整數,直接輸出。如果結果是小數(顯然這個小數是有限的),輸出精確值(末尾不加多餘的 0)。
Sample Input
4 20
1
2
3
Sample Output
3.5HINT
限制與約定
1≤n≤100000,1≤k≤5,ai≥0。最終答案小於 2^63 。k=1,2,3,4,5 各自佔用 20% 的資料
Source
題解:
wwwwodddd ORZ
求子集異或和k次方的期望;
首先這和期望的k次方不一樣,所以還是老老實實按k分類討論,按位算貢獻吧:
k=1 , 考慮第i位是否有1,有會貢獻的$2^{i-1} $, 全部或起來除二;
k=2,如果某個異或和的第i位和第j為都有值,會貢獻$2^{i+j}$的答案 , 首先這兩位都必須要有至少一個1;
緊接著如果對於每一個數來說,這兩位的值都相同 ,說明兩位不相互獨立,所以概率是1/2,期望是$2^{i+j-1}$;
否則說明兩位獨立,在異或運算下(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)的概率相同為1/4,期望是$2^{i+j-2}$;
k>=3 , 由於答案在2^63次方以內,所以線性基的大小不會超過22,直接暴力列舉計算期望;
這題有一個結論是答案*2一定是整數;
可以用一個數存下對2^|B|的除數和餘數;
https://blog.sengxian.com/solutions/bzoj-3811 證明如下: 首先k=1,2時顯然成立。 當k>2時: 設線性基最多有BASE位。 對於每一位,若該位全為0,顯然不會對小數部分產生貢獻。 若該位為1,因為子集列舉,所以該位的1會被統計2^BASE/2次。 對於每一位均是如此,因此我們只需要考慮進位即可。 顯然低位的1會被傳遞到BASE-1位才不能進位(2的整數冪次),即最高位,而分母部分是2^BASE,因此最多會對一個小數位產生影響。 //我只改了一個字這是某位大佬的評論的對性質的證明
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstring> 5 #include<queue> 6 #include<cmath> 7 #include<vector> 8 #include<stack> 9 #include<map> 10 #include<set> 11 #define Run(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++) 12 #define Don(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--) 13 #define ll unsigned long long 14 #define ld long double 15 #define inf 0x3f3f3f3f 16 using namespace std; 17 const int N=100010; 18 int n,m,cnt; 19 ll a[N],d[100],res,ans; 20 char gc(){ 21 static char*p1,*p2,s[1000000]; 22 if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin); 23 return(p1==p2)?EOF:*p1++; 24 } 25 ll rd(){ 26 ll x=0; char c=gc(); 27 while(c<'0'||c>'9')c=gc(); 28 while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc(); 29 return x; 30 } 31 void solve1(){ 32 Run(i,1,n){ 33 ll x=rd(); 34 ans|=x; 35 } 36 printf("%llu",ans>>1); 37 if(ans&1)printf(".5\n"); 38 else puts(""); 39 } 40 void solve2(){ 41 Run(i,1,n)a[i]=rd(); 42 for(int i=0;i<=32;i++) 43 for(int j=0;j<=32;j++){ 44 int fg1=0,fg2=0,fg3=0; 45 for(int k=1;k<=n;k++){ 46 if(a[k]>>i&1)fg1=1; 47 if(a[k]>>j&1)fg2=1; 48 if((a[k]>>i&1)!=(a[k]>>j&1))fg3=1; 49 if(fg1&&fg2&&fg3)break; 50 } 51 if(!fg1||!fg2)continue; 52 if(i+j-fg3-1<0)res++; 53 else ans+=1ull<<(i+j-fg3-1); 54 } 55 ans+=res>>1; res&=1; 56 printf("%llu",ans); 57 if(res)printf(".5\n"); 58 else puts(""); 59 } 60 void solve3(){ 61 for(int i=1;i<=n;i++){ 62 ll x=rd(); 63 for(int j=63;~j;j--)if(x>>j&1){ 64 if(!d[j]){d[j]=x;break;} 65 else x^=d[j]; 66 } 67 } 68 for(int i=0;i<=63;i++)if(d[i])a[cnt++]=d[i]; 69 for(int i=0;i<1<<cnt;i++){ 70 ll x=0; 71 for(int j=0;j<cnt;j++)if(i>>j&1)x^=a[j]; 72 ll t1=0,t2=1; 73 for(int j=1;j<=m;j++){ 74 t1*=x , t2*=x; 75 t1 += t2 >> cnt , t2 &= (1<<cnt) - 1; 76 } 77 ans += t1 , res += t2; 78 ans += res >> cnt , res &= (1<<cnt) - 1; 79 } 80 printf("%llu",ans); 81 if(res)printf(".5\n"); 82 else printf("\n"); 83 } 84 int main(){ 85 freopen("in.in","r",stdin); 86 freopen("out.out","w",stdout); 87 n=rd(); m=rd(); 88 if(m==1)solve1(); 89 else if(m==2)solve2(); 90 else solve3(); 91 return 0; 92 }//by tkys_Austin;View Code