一、引言

1. 層次結構舉例
   家譜、城市（鄉鎮），檔案管理系統等
2. 為什麼用層次結構呢？
   分層次組織在管理上具有更高的效率
3. 查詢
   靜態查詢：對查詢的集合沒有插入和刪除操作，只有查詢
   動態查詢：對查詢的集合除查詢外，還可能發生插入和刪除
4. 二分查詢的啟示
   例如11個元素的二分查詢判定樹
   
   1）判定樹上每個結點需要的查詢次數剛好是該結點所在的層數
   2）查詢成功時查詢次數不會超過判定樹的深度
   3）n個結點的判定樹的深度為（int）（logn）+1
   4）平均查詢次數ASL=（44+43+2*2+1）/11=3
   要找4次的有4個（最底下那一層的四個結點），找3次的也有4個，找2次的有2個，找1次的有1個。

那麼，如果我們不用陣列的形式而是把資料放在這樣的一個層次化結構裡，是不是也能達到二分查詢的效果

二、樹的定義

樹（Tree）：n（n>=0）個結點構成的有限集合。當n=0時，稱為空樹，對於任何一個非空樹（n>0），具備以下性質：
1）樹中有一個稱為“根（root）”的特殊結點，用r表示
2）其餘結點可分為m（m>0）個互不相交的有限集T1，T2，…，Tm，其中每個集合本身又是一棵樹，稱為原來樹的**“子樹”（SubTree）**

採用一種遞迴的方法來說明這樣的一個樹

1、樹與非樹

1）子樹是不相交的
2）除了根節點外，每個結點有且僅有一個父節點
3）一棵N個結點的樹有N-1條邊

2、樹的基本術語

1）結點的度（Degree）：結點的子樹個數（每個結點連到往下的邊的個數，也就是子樹的個數）
2）樹的度：樹的所有結點中最大的度數
3）葉結點（Leaf）：度為0的結點（沒有子樹的結點）
4）父結點（parent）：有子樹的結點是其子樹的根節點的父結點
5）子結點（child）：若A結點是B結點的父結點，則稱B結點是A結點的子結點；子結點也稱孩子結點
6）兄弟結點（Sibiling）：具有同一父結點的各結點彼此是兄弟結點
7）路徑和路徑的長度：從結點n1到nk的路徑為一個結點序列

3、樹的表示

1）倘若用陣列來表示，其實有點困難，因為很難去表示它的父結點、子結點是哪一個元素。
2）倘若用連結串列表示，那麼就是用一個結構去表示這個結點，但是這樣每個結構的形式是不一樣的（因為有些有3個兒子，有些有2個兒子）
假如每個結點都用同樣的結構去表示，帶來的問題是，如果這個樹有n個結點，每個結點有k個指標域，那麼就有nk個指標域，而邊只有n-1條，也就是說只有n-1個指標域是非零的，就有nk-n+1個指標是空的，那麼久會造成空間上的浪費
比較好的方法是：
3）兒子-兄弟表示法
每個結點的結構是統一的，而且空間浪費也不大。n個結點是2n個指標域，其中有n-1條邊，所以意味著有n-1個指標域是非空的，那麼真正空的域是n+1

如果從根結點開始訪問其“次子”的“次子”，所經過的結點應該是從根結點開始訪問其“長子”的“長子”的“長子”的“長子”
把上面的方法旋轉45°，這個時候看到的是一個每個結點都有兩個指標的樹，一個指標指向左邊，一個指向右邊，每個結點最多是兩個兒子。這種樹叫做二叉樹，即度為2的樹。