線性規劃——對偶問題的對偶問題
原對偶問題
ymaxbTys.t.ATy+s=cs≥0(2)
A∈Rm×n,s∈Rn,y∈Rm
等價問題:
ymin−bTys.t.ATy+s=cs≥0(2)
對偶問題的推導參見博文《線性規劃——對偶問題的推導》。
引入拉格朗日函式:
L(x,y,s)=−bTy+xT(ATy+s−c)
g(x)≜y,sinfL(x,y,s)=y,sinf{−cTx+(Ax−b)Ty+xTs}=−cTx+yinf(ATx−b)Ty+sinfxTs
分開來看,
yinf(Ax−b)Ty={0,Ax−b=0−∞,otherwise
sinfxTs={0,z≥0−∞,otherwise
顯然,最大化
g(x) 只有在其有下界時有意義。因此得到約束條件:
Ax−b=0,z≥0。
原對偶問題的對偶問題為:
maximize−cTxs.t.Ax−b=0z≥0等價於
minimizecTxs.t.Ax−b=0z≥0即為線性規劃的標準形式。
得出結論: 線性規劃的對偶問題的對偶問題是原問題。
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