線性規劃——對偶問題的推導
原問題
xmincTxs.t.Ax=bx≥0(1)
對偶問題
ymaxbTys.t.ATy+s=cs≥0(2)
A∈Rm×n,x∈Rn,s∈Rn,y∈Rm
推導
引入拉格朗日函式:
L(x,λ,μ)=cTx+λT(Ax−b)−μTx要求
μ>0,
λ隨意。容易驗證:
λ,μsupL(x,λ,μ)=cTx因而原問題就等價於:
x∈Dinfλ,μsupL(x,λ,μ),(P)其中可行域
D={x∣Ax=b,x≥0}。下面我們構造對偶問題:
λ,μsupxinfL(x,λ,μ).(D)
先對 x 取下界:
xinfL(x,λ,μ)=−λTb+xinf(c+ATλ−μ)Tx={−λTb,c+ATλ−μ=0−∞,otherwise
顯而易見,對偶問題 (D) 值有當
c+ATλ−μ=0 時才有意義。所以對偶問題寫成:
λmax−bTλs.t.ATλ−μ+c=0μ≥0令
y=−λ,s=μ 即變成問題 (2)。
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