Address

洛谷P4007
UOJ#340
LOJ#2325

Solution

難道 $m$ 和 $k$ 特別小，容易想到一個狀態：
$f$

[ i ] [ a ] [ b ] [ c ] f[i][a][b][c] 表示當前血量為 $1$ 的隨從有 $a$

個，血量為 $2$ 的有 $b$ 個，血量為 $3$ 的有 $c$ 個的情況下，發動 $i$ 次攻擊對 boss 造成的期望傷害。
邊界：
$f[0][a][b][c]=0$
轉移 1 ：攻擊 boss 。
$f[i][a][b][c]+=\frac{(1+f[i-1][a][b][c])}{1+a+b+c}$
轉移 2 ：擊殺一個血量為 $1$ 的隨從。
$f[i][a][b][c]+=f[i-1][a-1][b][c]\times\frac a{1+a+b+c}$
轉移 3 ：隨從數量達到上限時，攻擊一個血量為 $2$ 的隨從。
$f[i][a][b][c]+=f[i-1][a+1][b-1][c]\times\frac b{1+a+b+c},a+b+c=k$
轉移 4 ：隨從數量達到上限時，攻擊一個血量為 $3$ 的隨從。
$f[i][a][b][c]+=f[i-1][a][b+1][c-1]\times\frac c{1+a+b+c},a+b+c=k$
轉移 5 ：隨從數量未達到上限時，攻擊一個血量為 $2$ 的隨從，召喚一個血量為 $m$ 的隨從。
（1） $m=2$ ：
$f[i][a][b][c]+=f[i-1][a+1][b][c]\times\frac b{1+a+b+c}$
（2） $m=3$ ：
$f[i][a][b][c]+=f[i-1][a+1][b-1][c+1]\times\frac b{1+a+b+c}$
轉移 6 ：隨從數量未達到上限時，攻擊一個血量為 $3$ 的隨從，召喚一個血量為 $m$ 的隨從。
(1) m=3 ：
$f[i][a][b][c]+=f[i-1][a][b+1][c]\times\frac c{1+a+b+c}$
轉移 5 和轉移 6 的條件為 $a+b+c<k$ 。
注意到 $n$ 非常大，遞推式是線性的，多次轉移時係數不變，可以使用矩陣乘法優化 DP 。
注意到滿足 $a+b+c\le k$ 的有序三元組 $(a,b,c)$ 最多有 $\binom{k+3}3$ 個，
當 $k=8$ 時為 $165$

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