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　　作者：窗戶

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　　接著上兩章內容，我們還是得繼續尋找有限域的構造方法。上章證明矩陣環是個單環，自然是沒戲了，但我們還可以考慮多項式環。

　多項式環

　　多項式是我們大家熟知的概念，以下都是一元多項式：

　　1

　　2x+4

　　x²+2x+3

　　3x²+5x²+9

　　...

　　所謂的一元就是隻有一個未知數，在這裡我就不對於一元多項式給出一個嚴格的定義了，直接解釋多項式環。

　　所謂一個環A的多項式環B，指的是如下：

　　(1) B的每個元是一個一元多項式

　　(2) B的每個元(一元多項式)的每一個係數都是A上的元

　　(3) 係數全是A上的元的一元多項式都是B的元

　　多項式的加法、減法就是合併同類項，因為係數取自一個環，所以係數間的加法、減法是合法的，會得到別的多項式。

　　同樣，多項式的乘法要麻煩一點，不過也是得到多項式的。多項式的乘法是利用分配律，展開各項。以下整係數多項式的例子可以讓我們回憶起多項式的乘法：

　　(x²+2x+3) * (3x+5)

　　= (x²+2x+3) * 3x + (x²+2x+3) * 5

　　= x² * 3x + 2x * 3x + 3 * 3x + x² * 5 + 2x * 5 + 3 *5

　　= 3x³ + 6x² + 9x + 5x² + 10x + 15

　　= 3x³ + 11x² + 19x + 15

　　因為係數都在一個環裡，所有乘法、加法都是封閉的，所以多項式乘法也是一樣合法的。

　　所以多項式環當然是環。

　　可能有的人想問，為什麼這裡非要用一元多項式？

　　其實我們在剛才的多項式環定義那裡為多項式引入任意多個未知數（甚至無窮多個未知數），其組成的代數系統依然為環，只是多元的多項式環挺複雜，這裡不研究。

　　不可分多項式

　　我們知道質數是2、3、5、7、11、13、17...這樣除了1和本身外沒有其他正約數的正整數。

　　我們在這裡對質數做一個引申。

　　一個多項式環上的任意多項式，當然可以表示為1和自身的乘積，當然也可以表示為-1(1元的相反元)和自身的相反元的乘積，這兩者都是很平凡的。

　　比如：

　　x²+x+1 = 1 * (x²+x+1) 

 　　　　     = -1 * (-x²-x-1)

　　這都是平凡的，沒什麼意義。

　　如果是域上的多項式環，裡面任何多項式表示成域上任何一個非0元和一個多項式的乘積。從而，這些也都是平凡的。

　　而所謂真正意義上的分解，就是要求兩個乘積項都不是常數，也就是次數是大於0的。

　　比如，

　　x²+2x+1 = (x+1) * (x+1)

　　不可分解的多項式我們稱之為不可分多項式。

　　比如整數係數下的x²+x+1就是不可分多項式，實際上，即使是2元域（0/1兩個元組成的特徵2的域）上，這個多項式也是不可分多項式。

　　但在7元域（0/1/2/3/4/5/6組成的特徵7的域）上，

　　x²+x+1 = (x+3) * (x+5) 

　多項式的帶餘除法

　　我們從小就知道自然數的帶餘除法，

　　比如

　　7÷3 = 2 ... 1

　　換個寫法，7 = 3*2+1

　　其實，域的多項式環裡的多項式也存在這樣的帶餘除法。

　　對於多項式f和g(g為非0多項式)，一定存在唯一的多項式a和b，滿足

　　f = g*a+b

　　並且b的次數小於g的次數。

　　其實證明起來很簡單，就如同兒時的豎式除法計算那樣，一步步的把高次的項減掉。

　　比如我們以2元域下的多項式 x⁵+x⁴+x+1 和 x²+x+1為例

                                                  x³     + x      +1

                           _________________________   

        x² + x + 1    |     x⁵ + x⁴                 + x    + 1

                                  x⁵ + x⁴ + x³

                           ______________

                                                  x³         + x

                                                  x³ + x² + x

                                                 ___________

                                                          x²          + 1

                                                          x²   + x   + 1

                                                       ____________

                                                                    x

　　所以，

　　　　　　x⁵+x⁴+x+1 = (x²+x+1) * (x³+x+1)  + x

　　帶餘除法對於後面的理解有至關重要的作用。

　有限域

　　既然想通過商環的方法構造域，那麼當然要先考慮多項式環的理想。

　　我們依然使用生成元的方法去研究。

　　我們以 p階素域 作為原本的環 A， 那麼A的多項式環稱為 B,

　　我們考慮由多項式 f 生成的理想，我們假設 f 是可以分解的，f = f₁ * f_2。

　　f₁、f₂並不在理想裡，很明顯，f₁、f₂的次數比f都低，不存在f乘以一個多項式得到f₁ 或 f₂。

　　我們再回憶一下商環的運算，根據f = f₁ * f₂，我們有

　　商集(f₁) * 商集(f₂) = 商集(f)

　　商集(f)其實就是理想，也就是商環裡的0元，

　　從而左邊兩個非0元乘法得到右邊的0元，於是這個商環不是整環，當然更不可能是域了。

　　於是我們考慮由單個不可分多項式生成的理想。

　　考慮其下一個m次不可分多項式 f（最高未知數次數為m）生成的理想 C ,

　　然後我們考慮商環B/C長什麼樣。

　　理想C其實是所有以多項式 f 為因子的多項式的集合。

　　我們考慮所有次數小於m的多項式，根據排列組合的乘法原理，這樣的多項式一共有p^m個。

　　對於任意兩個不同的次數小於m的多項式，假設為g和h。

　　g-h為非0的次數小於m的多項式，從而g-h不可能以f為因子，從而g-h不在理想裡，從而g和h一定屬於不同的商集。

　　因為g和h選擇的隨意性，從而這p^m個多項式分屬於p^m個不同的商集。

　　上面介紹過帶餘除法，考慮次數大於等於m的多項式，假設有一個這樣的多項式h,

　　一定存在一個多項式a和一個次數小於m的多項式b，使得

　　h = g*a+b

　　h-b = g*a

　　g*a在理想C裡，於是h和b在同一個商集裡。

　　由於h選擇的隨意性，從而任何一個次數大於等於m的多項式都落在那p^m個不同的商集裡。

　　所以，我們最終的這個商環也就有p^m個元。

　　這裡多項式乘法的可交換性遺傳自域乘法的可交換，從而這個商環可交換是必然的。

　　另外，f的不可分特性導致瞭如果任意g、h不以f為因子，則g*h也不以f為因子。從而，這個商環是一個整環。

　　有限的可交換整環，因為其有限性，那麼當然是除環，從而當然就是域啦（其實，並不存在有限的不可交換整環，不過這個定理證明有那麼點麻煩）。

　　OK,我們終於找到了構造任意階有限域的方法。

　　附：上一章有網友提議用LaTeX，嗯，本人確實有點懶，不過後面會考慮的。

　　另外，很多網上文章這裡都寫 本原多項式 ，人云亦云，悲哀，一幫只願去抄書不願去理解的人啊。

　　建議還是先去了解一下什麼叫本原多項式吧。