Now I coding,see you later.
例題1
求
∫2π23πarccos(sinx)dx=
【分析】目標:arccos(cosx)=x 即我們常說的:f−1⋅f=1
此時,x 是有定義域的,因為arccos函式是有主值區間的,故 x 的定義域是 [0,π]。
這裡需要si
欲使 sinα=cos(2kπ+α)
奇變偶不變,符號看象限
如 k=−1 , 即 2π
sinx=cos(2π+x)
⇒arccos(sinx)=arccos(cos(−2π+x)),−2π+x∈[0,π]x∈[2π,23π]arccos(sinx)=−2π+x
∴∫2π23πarccos(sinx)dx=π⋅π⋅21=2π2
例題2
求
∫sin2x+2sinxdx
【分析】
分母=sin2x+2sinx=2sinx(cosx+1)=2sinx⋅2cos22x=8⋅sin2xcos32x=8⋅tan2xcos42x⇒I=∫8⋅tan2xcos42x1=2⋅81∫tan2x1+tan22xdtan2x=41(ln∣tan2x∣+21tan22x)+C
備註:
cos22x1=sec22x=1+tan22x(tanx)′=sec2xdxdtanx=sec2xdtanx=sec2x⋅dx
這神奇的一撇兒,是拉格朗日的發明,然而,萊布尼茲使用了d比dx。大家都在歡樂地說,啥啥啥對x求導。
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