條件概率,乘法公式,全概率公式及貝葉斯公式的推導

• 條件概率
• 乘法公式
• 全概率公式
• 貝葉斯公式
• 推導過程

條件概率

條件概率是指事件A在另外一個事件B已經發生條件下的發生概率。條件概率表示為： $P(A\mid B$

) P(A\mid B ) ，讀作“在B的條件下A發生的概率”
條件概率公式為:
$P(A\mid B$

) = P ( A B ) P

( B ) P(A\mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
同理可得出在A條件下B發生的概率為
$P(B\mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$

乘法公式

1.由上面的條件概率公式得：
$P(AB) = P(A \mid B) * P(B)=P(B \mid A ) * P(A)$

全概率公式

如果事件組B1，B2，… 滿足

• B1，B2…兩兩互斥，即 Bi ∩ Bj = ∅ ，i≠j ， i,j=1，2，…，且P(Bi)>0,i=1,2,…;
• B1∪B2∪…=Ω ，則稱事件組 B1,B2,…是樣本空間Ω的一個劃分,也稱B為完備事件組
  設 B1,B2,…是樣本空間Ω的一個劃分，A為任一事件，則：
  $P(A)= \sum\limits_{i=1}^\infty {P(B_i)}{P(A\mid B _i)}$
  因為 $P(A) = P(A\Omega)=P(A(B_1+B_2+B_3+...))$
  又因為 $B_i$之間互斥,所以 $P(A)=P(AB_1)+P(AB_2)+P(AB_3)+...$
  根據上面的乘法公式我們可以得到:
  $P(AB_1)=P(B_1)*P(A\mid B_1)$
  $P(AB_2)=P(B_2)*P(A\mid B_2)$
  $P(AB_3)=P(B_3)*P(A\mid B_3)$
  由此可得 $= P(A \Omega)=P(A)= \sum\limits_{i=1}^\infty {P(B_i)}{P(A\mid B _i)}$

貝葉斯公式

$P(B_i\mid A)= \frac{P(A\mid B_i) * P(B_i)}{\sum\limits_{j=1}^\infty{P(B_j)}{P(A\mid B_j)}}$

推導過程

• 利用條件概率公式得到
  $P(B_i\mid A)=\frac{P(AB_i)}{P(A)}$
• 利用乘法公式得到變形 $P(AB_i) = P(A \mid B_i) * P(B_i)$