首先，我還是要先囉嗦一下揹包問題的題外話。

動態規劃（dp）是求解決策過程最優化的數學方法，其過程大概如下：為了尋求最優解，我們可以把多階段過程轉化為一系列單階段問題，利用各階段之間的關係，逐個求解。

咳咳，不囉嗦了，步入正題。

揹包問題最基本的分為三大類：0-1揹包，完全揹包和多重揹包。

我先稍微解釋一下三種揹包的大概意思。0-1揹包是指往揹包裡裝入的物品每種只有一件，完全揹包則是往揹包裡裝入的物品每種有無數件，顯然這兩種情況都過於理想化，而多重揹包則是一種更為貼近實際生活的揹包型別，即每種物品都為有限件，第i種物品的件數可記為amount[i]。

我們現在看一個例題，TSOJ的1306揹包問題。

題目描述:

有n種物品，每種均有無窮多個。第i種物品的體積為Vi，重量為Wi。選一些物品裝到一個體積容量為C的揹包中，使得揹包內物品在總體積不超過C的前提下重量儘量大。

輸入描述：

第一行有兩個整數n（1 <= n <= 100）和C（1 <= C <= 10000），用一個空格隔開，n表示貨物種類數，C代表揹包體積容量。接下來的n行每行包括兩個在1到10000之間（包括1和10000）的整數Vi,Wi，分別表示物品的體積和重量。

輸出描述：

包括一行，這一行只包含一個整數，表示在規定的揹包體積大小內，揹包內物品的最大重量

樣例輸入:

3 5

1 2

2 3

3 2

樣例輸出:

10

不難看出，這是一個典型的完全揹包問題。解題思路大概是這樣：1，開一個一維dp陣列用來記錄揹包容量從0 - C的動態情況。2，對每種物品依次更新揹包從(V[i]) - C的情況。3，直到對最後一種物品更新完資料，取出最大值,即為最終結果。

更新揹包的資料來源有兩個：（1）上一次dp當前容量的值。(2)上一次dp當前容量減去當前物品體積的值加上當前物品重量。

毋庸置疑，我們要用資料來源中較大的對dp進行更新，這樣就可以確保每次更新完後的dp值都是隻裝入前i個物品的當前容量的最優解。

你可能聽我囉嗦完還是一頭霧水，不用擔心，你可以先看下面的程式碼，看完後可能就會有所體悟。

#include<stdio.h>

int dp[10005];

int max(int a,int b)
{
	return a>b?a:b;
}

int main()
{
	int i,j,n,c,cc[105],ww[105];
	while(scanf("%d %d",&n,&c)!=EOF)
	{
		int maxf=0;
		for(i=0;i<=c;i++)	
			dp[i]=0;
		for(i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d %d",&cc[i],&ww[i]);
		for(i=1;i<=n;i++)
			for(j=cc[i];j<=c;j++)
			{
				dp[j]=max ( dp[j] , dp[j-cc[i]]+ww[i] );
				maxf=dp[j];
			}	
		printf("%d\n",maxf);
	}
	return 0;
}

這是我用最基本的C語言編寫的原始碼，只使用了標準輸入輸出的標頭檔案，以便強化作為初學者的我的語言功底。餃子作為一隻小萌新，給廣大萌新小夥伴們提個建議，儘量多自己編寫程式碼，減少使用庫函式。( P.S.有時候還會降低智商的，開玩笑的啦。 )當然等語言功底紮實之後，你就可以為所欲為了，此處手動滑稽。

這時候我們注意到，當遇到第i種物品時，小於V[i]的dp值是不需要更新的，因為他們壓根就裝不下啊，當然這種說法也不太嚴謹，但是便於理解。此時我們可以從另一個角度理解，這些資料是更新了的，且更新完的資料還是原來的值，只不過聰明的你發現了這個規律，讓傻不拉幾的只會機械地執行的計算機減少了這些無效的操作，人是有思維的，這就是計算機和人類本質的區別鴨！

其實我應該從二維陣列dp[i][j]對完全揹包進行講解，然後再講空間優化問題，但是我感覺，直接學習空間優化完的揹包問題就足夠了，因為我感覺兩者在程式碼實現難度上沒什麼區別鴨，這種不多費力氣又省記憶體的方法學會了,豈不是事半功倍了鴨？

搞懂了完全揹包，我覺得0-1揹包和多重揹包也不是什麼問題了。0-1揹包和完全揹包的區別就是：

完全揹包dp的更新方向是：→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→

而0-1揹包的更新方向是：←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←

之所以完全揹包是從左到右，是因為左面的dp值是考慮了裝入若干個前i種物品後更新完的值，我們要用這些裝入了第i個物品後的dp值對後面繼續進行更新。而0-1揹包是用裝入前i-1種物品的dp值對當前要裝入第i個物品的dp值進行更新，為了確保每個數值都沒被第i個物品更新過，考慮完兩種資料來源後，我們發現從右到左這種更新方式巧妙地避免了這個問題，因為每次更新都是用左面的dp值對當前dp值進行更新，而若從左到右，左面的值是裝入了前i個物品後的dp值，不再是裝入前i-1個物品的dp值，這樣顯然就是錯誤的。

本餃子暫時就只想到了這麼多，可能講解中有一些錯誤沒有發現，還望大佬們多多指出。