[數論]尤拉函式&素數篩
阿新 • • 發佈:2018-12-18
一、尤拉函式
尤拉函式是小於x的整數中與x互質的數的個數,一般用φ(x)表示。
通式: 其中p1, p2……pn為x的所有質因數,x是不為0的整數。- 比如x=12,拆成質因數為12=2*2*3,
- 12以內有1/2的數是2的倍數,那麼有1-1/2的數不是2的倍數(1,3,5,7,9,11),
- 這6個數裡又有1/3的數是3的倍數,
- 只剩下(1 - 1/2 - 1/3)的數既不是2的倍數,也不是3的倍數(1,5,7,11)。
- 這樣剩下的12*(1 - 1/2 - 1/3)=4,即4個數與12互質,所以φ(12)=4。
證明:對於正整數x,
- 如果x=1,則 φ(1) = 1。
- 1與任何數(包括自身)都構成互質關係。
- 如果x是質數,則 φ(x)=x-1 。
- 質數與小於它的每一個數,都構成互質關係。比如5與1、2、3、4都構成互質關係。
- 如果n只有一個質因數p,即x = p^k(p為質數,k>=1),則φ(pk)=pk(1-1/p)=pk-pk-1 。
- 從1~x中,p的倍數共有x/p個,共佔了1/p,則減去這些數後,還剩下x*(1-1/p)個。
- 可以看出,上一種情況是 k=1 時的特例。
- 如果n可以分解成兩個互質的整數之積,即n = p1 * p2,則φ(x) = φ(p1 * p2) = φ(p1) * φ(p2)。
- 積性函式:若當m與n互質時,f(m∗n)=f(m)∗f(n) f(m*n)=f(m)*f(n)f(m∗n)=f(m)∗f(n),那麼f是積性函式。
- 尤拉函式是積性函式(證明略)。
- 任意一個大於1的正整數,都可以寫成一系列質數的積。
- 可以得到,φ(x) = φ(p1)*φ(p2)*...*φ(pn) = x(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pn).
一些(目前不需要的)性質:
- 當n>2時,φ(n)是偶數。
- 小於n的數中,與n互質的數的總和為:φ(n) * n / 2 (n>1)。
- n的因數(包括1和它自己)的尤拉函式之和等於n。
- 若n為奇數時,φ(2n)=φ(n)。
- 對於任何兩個互質的正整數a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恆等於)此公式即 尤拉定理。
- 當n=p 且 a與素數p互質(即:gcd(a,p)=1)則上式有: a^(p-1)=1 mod n (恆等於)此公式即 費馬小定理。
求尤拉函式:
1.埃拉託斯特尼篩
求1~n所有數的尤拉函式:每次找到一個質數,就把它的倍數更新掉。複雜度大概是O(nlognlogn)。
void euler(int n){
for (int i=1;i<=n;i++) phi[i]=i;
for (int i=2;i<=n;i++)
if (phi[i]==i)for (int j=i;j<=n;j+=i)
phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
2.尤拉篩
每次找到一個最小的因數(一定為質因數),求出x*(1 - 1/p)。複雜度為O(n)。
int euler(int n){
int res=n,a=n;
for(int i=2;i*i<=a;i++){
if(a%i==0){
res=res/i*(i-1);
while(a%i==0) a/=i;
}
}
if(a>1) res=res/a*(a-1);
return res;
}
對於x = p1^k * p2^m...,只需要求一次(1-p1)(1-p2)...就可以了,
為了保證每個質因數只被使用一次,通過以上的while迴圈把x中的p1除盡。
二、素數篩法
好睏(我覺得這個寫的挺好)
參考文章:
https://blog.csdn.net/liuzibujian/article/details/81086324
https://blog.csdn.net/paxhujing/article/details/51353672