首先，我們得知道盧卡斯定理求得是啥。。。

比如C（n,m）求的是從n個數中取m個數的組合數

而C（n，m）等於的是n！/（m！*！（n-m））。。不否認我們可以遞推過去。。但是如果如果 m很大呢。。。大的達到了一個天文數字級別。。你該怎麼辦呢。。好吧盧卡斯也沒有辦法。。

但是，但是，如果MOD上一個素數P，結果就會很小，有人會說，我直接一邊乘一邊mod唄。。不是一樣嗎。。 我相信盧卡斯不會閒著沒事幹幹這種事的，，，瞎掰個定理來玩你。。。

試想若果你乘的階乘裡面有一個modP等於0的數呢。。sisisisis。。不太好，不太好。。。 可是我們的這個n！/（m！*！（n-m））除後得到的結果是不會是P的倍數的（一般）；

所以下面就正式來講lucas（n+m，m）這個蛇皮的東西

首先lucas既然是為了將天文數字降下來。。。那麼我們的初始化。要初始化多少捏。。。

準確的說是1！------P！，都要用到。。原因是程式碼中會講；

第一段 初始化 本人手懶就std關庫cin了

std::ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n>>m>>p; fac[0]=1; 
		for(int i=1; i<=p; ++i) fac[i]=fac[i-1]*i%p; 
		cout<<
 
lucas(n+m,m)%p<<endl;

你問為神馬是n+m，m嗎 額 你問你谷zcy這位管理員去，這個鍋我不背 你谷盧卡斯定理模板

下面我們就簡化成n和m即n=原來的n+m，m也就顯而易見了

lucas定理主要證明就是（x） 我不會

他們都貼的是馮志剛的37頁初等數論。。可惜我數競太差了，，看不懂。。

所以友善的貼一下另一位大佬的證明部落格 記得回來呀

所以我們得出 lucas（n,m）=lucas(n/P,m/P)*C(n%P,m%P) 的一條公式

誒你說和你之前看的不一樣，，額，那種寫法被我拋棄了。。 簡單貼一下那種程式碼

#include<bits/stdc++.h>
 

using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=1e5,N=1e5+10;
ll p,a[N],b[N];
ll Lucas(ll x,ll y) {
	if (x<y) return 0;
	if (x<p&&y<p) return a[x]*b[x-y]%p*b[y]%p;
	return Lucas(x%p,y%p)*Lucas(x/p,y/p)%p;
}
int main() {
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--) {
		ll n,m;
		scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p);
		n+=m;
		a[0]=1;
		for (register ll i=1; i<=p-1; ++i) a[i]=a[i-1]*i%p; 
		b[1]=1;
		for (register ll i=2; i<=p-1; ++i) b[i]=((-p/i*b[p%i])%p+p)%p; 
		b[0]=1;
		for (register ll i=1; i<=p-1; ++i) b[i]=b[i]*b[i-1]%p; 
		printf("%lld\n",Lucas(n,m)); 
	}
	return 0;
}

不知道為什麼之前的註釋會亂碼，，不放上去了。。

然後我們會驚奇的發現C（n%P,m%P）我們是能求的

這裡要用到逆元的知識，本人不在普及，，

即C下n！/（m！*（n-m）！） n！，m！，（n-m）！我們都求出來了？？？？？為啥

我們看看前面的

首先lucas既然是為了將天文數字降下來。。。那麼我們的初始化。要初始化多少捏。。。 準確的說是1！------P！，都要用到。。原因是程式碼中會講；

終於用到了，，呵呵。。都%過了，還怕比他大？

所以一切結束

貼程式碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,p,T,fac[100010];
long long fpow(int x,int y){
    long long res=x; y--;
    while(y){if (y&1) res=1ll*res*x%p; 
    x=1ll*x*x%p; y/=2;  }return res; 
}
long long C(int n,int m){
    if (m>n) return 0; 
    return (fac[n]*fpow((fac[m]*fac[n-m])%p,p-2)%p);
}
long long lucas(int n,int m){
    if (m==0) return 1; 
    return (lucas(n/p,m/p)*C(n%p,m%p))%p;}
int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n>>m>>p; fac[0]=1; 
        for(int i=1; i<=p; ++i) fac[i]=fac[i-1]*i%p; 
        cout<<lucas(n+m,m)%p<<endl;
    }
}

程式碼略醜，大佬勿噴。。。

																		THE END