本徵向量、本徵值、正定矩陣的定性理解
下面所有的黑色字型的字母都是矩陣
本徵向量和本徵值的定義:
對於一個非零向量x和一個矩陣A,如果標量a使得:
Ax=ax
則可以稱a為A的本徵值,x為本徵向量。
本徵值和本徵向量的求法:
Ax-ax=0 (1)
(A-aI)x=0 (2)
則只要A-aI的行列式為零,就可以求出a的值;然後將a的值代入上面的(2)的式子,就可以求出本徵向量裡面的元素的關係
本徵值在幾何上的意義:會將對應本徵向量方向上的向量進行縮放,既可以說:縮放的倍數就是本徵值
正定矩陣的定義:
對於任意非零的向量x和一個對稱矩陣A,如果滿足:x
正定矩陣在幾何上面的理解:
在空間中找到一組為正交的向量,經過正定矩陣的變化,變化後他們還是正交的,且方向會不變。但是他們的向量的模會改變。
猜測:可以用來對圖片進行縮放
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