寫在前面：

　　記錄了個人的學習過程，同時方便複習

• 快速冪

　　在求解同餘方程時，常常會遇到a^b%c的問題

　　顯然，對a^b的計算耗費空間很大，甚至會資料溢位

　　但是根據模運算的分配律，就可以對這個步驟進行簡化

(在[◹]對算術基本定理的研究中提到過)

　　先引入小學學習的一種方法：a^b == a*a*a*...*a  (b個a連乘)

　　那麼a^b%c

　　== (a*a*a*...*a)%c  (b個a連乘)

　　== (a%c*a%c*a%c*...*a%c)%c  (b個a%c連乘)

　　== {[(a%c*a%c*a%c*...*a%c)%c(b/2個a%c連乘)

　　== {[(a%c)²%c]*[(a%c)²%c]*...*[(a%c)²%c]%c(b/2個(a%c)²連乘) * (b/2) * (a%c)}%c

　　== ...

　　這樣不斷地消去b，對a^b的過程量取模，就又保證了資料不溢位

　　從二進位制的角度看更好理解

　　就是從小到大對這個數對應的二進位制位逐個乘上，然後在步驟之間取模

注：b&1即b%2==1，b>>=1即1b/=2

　　程式碼：

C++：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int x,y,z;
 6 
 7 int Pony_FE(int a,int b,int c)
 8 {
 9     int ans=1;
10     a%=c;
11     while(b!=0)
12     {
13         if(b&1) ans=(ans*a)%c;
14         b>>=1;
15         a=(a*a)%c;
16     }
17     return ans;
18 }
 
19 
20 int main(int argc,char *argv[],char *enc[])
21 {
22     scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
23     printf("%d\n",Pony_FE(x,y,z));
24     
25     return 0;
26 }

Java：

 1 import java.io.*;
 2 import java.util.*;
 3 
 4 class pony{
 5 
 6     static int x,y,z;
 7 
 8     static int Pony_FE(int a,int b,int c)
 9     {
10         int ans=1;
11         a%=c;
12         while(b!=0)
13         {
14             if(b%2==1) ans=(ans*a)%c;
15             b>>=1;
16             a=(a*a)%c;
17         }
18         return ans;
19     }
20 
21     public static void main(String[] args) throws Exception {
22         
23         Scanner cin=new Scanner(System.in);
24         
25         x=cin.nextInt();
26         y=cin.nextInt();
27         z=cin.nextInt();
28 
29         System.out.println(Pony_FE(x,y,z));
30     }
31 }

　　當然還有遞迴寫法的

C++：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int x,y,z;
 6 
 7 int Pony_FE(int a,int b,int c)
 8 {
 9     if(!b) return 1;
10     int res=Pony_FE(a,b/2,c);
11     res=(res*res)%c;
12     if(b&1) res=(res*a)%c;
13     return res;
14 }
15 
16 int main(int argc,char *argv[],char *enc[])
17 {
18     scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
19     printf("%d\n",Pony_FE(x,y,z));
20     
21     return 0;
22 }

Java：

 1 import java.io.*;
 2 import java.util.*;
 3 
 4 class pony{
 5 
 6     static int x,y,z;
 7 
 8     static int Pony_FE(int a,int b,int c)
 9     {
10         if(b==0) return 1;
11         int res=Pony_FE(a,b/2,c);
12         res=(res*res)%c;
13         if(b%2==1) res=(res*a)%c;
14         return res;
15     }
16 
17     public static void main(String[] args) throws Exception {
18         
19         Scanner cin=new Scanner(System.in);
20         
21         x=cin.nextInt();
22         y=cin.nextInt();
23         z=cin.nextInt();
24 
25         System.out.println(Pony_FE(x,y,z));
26     }
27 }