【機器學習筆記31】傅立葉變換
阿新 • • 發佈:2018-12-22
【參考資料】
【1】《複變函式與積分變換》
【2】《數字訊號處理》
1. 傅立葉級數
定義: 設是以T為週期的實值函式,且在上滿足狄利克雷條件,即:
1)連續或只有有限個第一類間斷點;
備註:第一類間斷點包括:
可去間斷點:左右極限存在且相等,但不等於該點的值,或該點無定義;
跳躍間斷點:左右極限存在但不相等
2)只有有限個極值點
那麼在連續點處有
傅立葉級數的三角形式
其中$n = 0, 1, 2, \dots $
其中$n = 0, 1, 2, \dots $
傅立葉級數的復指數形式
2. 傅立葉變換
周期函式可以展開為傅立葉級數。從物理上將週期為T的函式可以由一系列為間隔的離散頻率所形成的簡諧波合成。當T越來越大時,取得頻率間隔越來越小,當T變成無窮大時,周期函式就變成了非周期函式,此時傅立葉級數就轉變稱了傅立葉變換。
推導如下:
在周期函式下時域訊號被分解為頻率的簡諧波,此時T區域無窮。
因此有越來越小的記作,而記作, 並且
於是有:
$f(t)=\dfrac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}{+\infty}[\int\limits_{-\infty}{+\infty} f(\tau) e^{-j\omega \tau}d\tau] e^{j\omega t}d\omega
因此得到定理如下(傅立葉變換):
3. 單位衝擊函式
單位衝擊函式定義:
1)當時,
2)
主要性質:
1 當實數域有界函式f(t),在t=0點連續,則
2 當實數域有界函式f(t),在點連續,則
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