• 作者：鄒祁峰
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• 日期：2014.05.08
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1 引言

    在大學期間，我們學過高等數學中的線性規劃，其中有關於矩陣相乘的章節：只有當矩陣A的列數與矩陣B的行數相等時，A×B才有意義。一個m×n的矩陣A（m，n）左乘一個n×p的矩陣B（n，p），會得到一個m×p的矩陣C（m，p）。矩陣乘法滿足結合律，但不滿足交換律。

    假設現要計算A×B×C×D的值，因矩陣乘法滿足結合律，不滿足交換律，即：A、B、C、D相鄰成員的相乘順序不會影響到最終的計算結果，比如： A×(B×(C×D))、A×((B×C)×D)、(A×B)×(C×D)、A×(B×C)×D、((A×B）×C)×D，雖然組合方式不一樣，但是最終的計算結果是一致的，但改變任何成員的位置將影響到最終的計算結果。

    需要注意的是：雖然矩陣鏈相乘時，結合方式不同所得結果一致，但獲得最終結果的所花費的時間是不一樣的。假如：現有矩陣A(10，100)、B(100，5)、C(5，50)，則不同結合方式的運算次數如下：

    運算次數N1[(A×B)×C] = 10*100*5+10*5*50 = 5000 + 2500 = 7500

    運算次數N2[A×(B×C)] = 100*5*50 + 10*100*50 = 25000 + 50000 = 75000

    N1：N2 = 7500 : 75000 = 1:10，經過對比可以發現：不同的矩陣相乘的結合方式在效能方面的表現差異十分懸殊。而《動態規劃 之 矩陣鏈相乘》就是針對此種問題的存在，從中選擇最佳的矩陣結合方式，提高此類問題的求解效率。

2 處理思路

    那麼針對矩陣鏈相乘的問題，怎樣才能選出最佳的結合方式呢？在《演算法導論》一書＂動態規劃＂的小節中給出了對此類問題的解決方案，但過程讓人費解．在此，本人將給出更加簡單，更加清晰的處理思路，以供大家參考。

   假設現有矩陣A1(50，30)、A2(30，20)、A3(20，100)、A4(100，10)、A5(10，5)，要求以最快的方式計算出它們相乘的結果。

圖1 初始狀態

Step1：計算相鄰矩陣相乘的計算次數

    N[A1×A2] = 50*30*20  = 30000

    N[A2×A3] = 30*20*100 = 60000

    N[A3×A4] = 20*100*10 = 20000

    N[A4×A5] = 100*10*5  = 5000    - 最小

    由以上的計算結果可知N[A4*A4]的值最小，因此首先結合矩陣A4(100，10)和A5(10，5)，得到矩陣B(100, 5)。此時所剩矩陣為：A1(50，30)、A2(30，20)、A3(20，100)、B(100，5)。

圖2 矩陣A4與A5結合

Step2：計算相鄰矩陣相乘的運算次數

    N[A1×A2] = 50*30*20  = 30000     - 不變

    N[A2×A3] = 30*20*100 = 60000     - 不變

    N[A3×B]  = 20*100*5  = 10000     - 最小

    同理，結合矩陣A3和A45，得到矩陣C(20, 5)。此時所剩矩陣為：A1(50，30)、A2(30，20)、C(20，5)。

圖3 矩陣A3與B結合

Step3：計算相鄰矩陣相乘的運算次數

    N[A1×A2] = 50*30*20 = 30000         - 不變

    同理，結合矩陣A2和C，得到矩陣D(30, 5)。此時所剩矩陣為：A1(50，30)、D(30，5)。

圖4 矩陣A2與C結合

Step4：最終計算順序

    由以上3步的統計結果可知最佳的計算方式為：A1×(A2×(A3×(A4×A5)))，用樹來表示計算順序的話，其結構如下圖所示：

圖5 最佳計算順序

    如果需要以最快的方式計算A1*A2*A3*A4*A5的結果的話，則只需要遍歷圖5中的二叉樹，便能找到最快的計算順序。當然如果矩陣A1、A2、A3、A4、A5有其他的行列數時，最佳計算順序可能為A1×（（A2×A3）×（A4×A5）），則用二叉樹表示為：

圖6 其他可能最佳順序

有了處理思路，一切就變得簡單了...