“0.1 + 0.2 = ?”，這道題如果給小學生，他會立馬告訴你答案是 0.3，但是交給一些程式去計算，結果就不是那麼簡單了。

事實上，不僅僅是 JS，在其他採用 IEEE754 浮點數標準的語言中，0.1 + 0.2 都不會等於 0.3，但是 0.2 + 0.3 卻等於 0.5，這是為何？想必這類問題也困擾著不少程式設計師。

IEEE754 浮點數的演算

我們知道，科學計數法中 30000 可以寫成 3x10⁴，以 10 為底數 4 為指數的科學計數法。在 IEEE754 標準中是比較類似的，只不過它是二進位制數，底數也為 2。

IEEE 754 中最常用的浮點數值表示法是：單精確度（32位）和雙精確度（64位），JavaScript 採用的是後者。舉個例子，十進位制數 150，使用雙精度浮點數表示法，表示如下：

// D 表示十進位制，B 表示二進位制
150D = 2^8 * 0.10010110B // 後面省略了 46 個 0

可以通過短除法計算：

   150   餘數位
÷    2
---------------
    75     0   
÷    2
---------------
    37     1
÷    2
---------------
    18     1
÷    2
---------------
     9     0
÷    2
---------------
     4     1
÷    2
---------------
     2     0
÷    
 
2
---------------
     1     0
÷    2
---------------
     0     1

上面是整數的表示法，而小數的表示法採用的是乘二取整，如 0.1，它的二進位制表示為：最後一個餘數為高位值，於是拿到 150 對應的二進位制數位 10010110，也就等於 2^8 * 0.10010110。

// (0011) 表示迴圈
0.1D = 2^-3 * 0.110011(0011)

其演算方法如下：

    0.1   整數位
×     2
---------------
    0.2     0 
×     2
---------------
    0.4     0   * ↓
×     
 
2
---------------
    0.8     0 
×     2
---------------
    1.6     1 
×     2
---------------
    1.2     1
×     2
---------------
    0.4     0   * ↑
             (0011迴圈)

如果一個數既包含整數部分，又包含小數部分，其表示法的計算，需要分拆為整數和小數兩部分，然後相加得到結果。與整數不同的是，第一個計算得到的整數位為最高位，故 0.1 對應的二進位制數為 0.000110011(0011)，也就等於 2^-3 0.1100110011(0011)。

IEEE754 浮點數精度丟失

IEEE754 浮點數表示法的資料格式如下圖：

// 下圖採用大端表示，高位在左，低位在右。

sign  exponent         fraction
+---+----------+---------------------+
| 1 |   2~12   |         13~64       |
+---+----------+---------------------+

• 從上面小數的乘二取整演算中可以看到，有些小數對應的二進位制數是無法寫全的，比如 0.1，而 fraction 尾數部分有要求，只允許 52 位，超過部分進一舍零。符號位：高位第 1 位，如圖 sign 部分
• 指數位：高位第 2~12 位，如圖 exponent 部分
• 尾數位：剩下的 fraction 部分

那麼，我們就可以得到：

0.1D 
= 2^-4 * 1.10011(0011)B
= 2^-4 * 1.10011(0011 repeat 12 times)0011B // ← 最後一位為 1，進 1
= 2^-4 * 1.10011(0011 repeat 12 times)010B

揭祕 0.1 + 0.2

根據上面我們瞭解到的知識，我們可以很容易算出這些值：

0.1D = 2^-4 * 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010B
0.2D = 2^-3 * 1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010B
0.3D = 2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110011B

0.1 + 0.2 時，先將兩者指數統一為 -3，故 0.1 小數點向左移一位，於是：

   0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101B
+  1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010B
------------------------------------------------------------
= 10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111B

得到的二進位制數為：

10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111B

小數點往左移一位使得整數部分為 1，此時尾數部分為 53 位，進一舍零，於是得到最後的值是：

2^-2 * 1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100

這個值轉化成真值，結果為：0.30000000000000004。那麼 0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004 的推演到這裡就結束了。

相關驗證

畢竟咱們手動計算可能存在筆誤，可以通過一個叫做 double-bits 的 npm 進行推演，我寫了一個小 demo，感興趣的可以玩耍下：

const db = require('double-bits');
const pad = require('pad');

// [lo, hi] where lo is a 32 bit integer and hi is a 20 bit integer.
const base2Str = (n) => {
  const f = db.fraction(n);
  const s = db.sign(n) ? '-' : '';
  const e = `2^${db.exponent(n) + 1}`;
  const t = `0.${pad(f[1].toString(2), 20, '0')}${pad(f[0].toString(2), 32, '0')}`;
  return `${s}${e} * ${t}`;
};

console.log(base2Str(0.1).toString(2));
console.log(base2Str(0.2).toString(2));
console.log(base2Str(0.3).toString(2));
console.log(base2Str(1.2).toString(2));

上面輸出結果為：

2^-3 * 0.11001100110011001100110011001100110011001100110011010
2^-2 * 0.11001100110011001100110011001100110011001100110011010
2^-1 * 0.10011001100110011001111001100110011001100110011001100
2^1 * 0.10011001100110011001111001100110011001100110011001100

最後

為了按照計算機的思維，IEEE754 的標準來計算 0.1 + 0.2，又重新複習了一遍大學計算機基礎的知識，原碼、反碼、補碼，以及除二取餘、乘二取整計演算法，最後能夠推演出來，也算是一個勝利吧~

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題圖：math by Roman Mager

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