大綱

1 基本計數原理

加法原理

乘法原理

2 排列

全排列

部分排列

圓排列

4 組合

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基本計數原理

加法原理

分類相加

例：

Mr.bean有n1,n2,n3…nx種方法從倫敦到利物浦，則總方法數為sum{n1,n2,n3,……,nx}

乘法原理

分步相乘

例：

Mr.bean 從倫敦到利物浦要經過牛津，劍橋，諾丁漢，而且從倫敦到牛津有4種方法，牛津到劍橋有5種方法，劍橋到諾丁漢有10種方法，諾丁漢到利物浦有11種方法，

因此Mr.bean共有4$\times $5$

5 \times $10$\times$11=2200種方法到達利物浦 可真為難他了

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排列

將m個人中叫出n個人來排成一列，則共有 $m\ast ($

m − 1 ) ∗ ( m − 2 ) . . . . ∗ ( m − n + 1 ) m*(m-1)*(m-2)....*(m-n+1) 種排列方式，若用 $P_{m}^{n}$來表示上述情況，則有

$P_{m}^{n}$= $\frac{m!}{(m-n)!}$（部分排列）

故可知， $P_{m}^{m}$= $\frac{m!}{(m-m)!}=m!$（全排列）

當然，若從m個人中叫出n個人來圍成一圈，並從任意一點將這個圈斷開變成不同的佇列，這種東西我們把他叫做圓排列，用 $Q_{m}^{n}$來表示

這樣的話， $Q_{m}^{n}$= $\frac{P_{m}^{n}}{n}$= $\frac{\frac{m!}{(m-n)!}}{n}$= $\frac{m!}{n\times(m-n)!}$（圓排列）

因為對於每個圈都可以從不同的點斷開擴充套件為n個不同的佇列 **

當然，由上可知， $Q_{m}^{m}$= $\frac{P_{m}^{m}}{m}$= $\frac{m!}{m}$= $(m-1)!$

組合

m個人中叫n個出來，不排隊湊成一團，不在乎順序，這叫組合，用 $C_{m}^{n}$表示

想想 $C_{m}^{n}$怎麼求？

若在人群中，ABC和ACB和BCA等都是一樣的，故對於 $C_{m}^{n}$中的每一種情況，都可以再擴充套件 $n!$倍（比如n=3,則對於 $C_{m}^{n}$中的ABC來說，就可以擴充套件為ABC,ABC,BCA,BAC,CBA,CAB六種，剛好是3!），即 $C_{m}^{n}$比 $P_{m}^{n}$少了 $n!$倍！

因此， $C_{m}^{n}$=$\frac{P_{m}^{n}}{n!}