【概率與統計】正態分佈(Normal Distribution)

連續型隨機變數最常用的分佈就是正態分佈(normal distribution),也稱為高斯分佈(Gaussian distribution):

N (x; μ, σ^{2}) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} (x - μ)^{2})

Normal Disatributions

上圖畫出了幾組正太分佈的PDF。可見，正太分佈由兩個引數控制

當我們需要對 PDF 求值時，頻繁計算 $\frac{1}{σ^{2}}$ 是一個麻煩的事情。所以我們可以另取一個引數 $β = \frac{1}{σ^{2}}$ 來控制分佈的精度(precision)，PDF 可以寫成：

N (x; μ, β^{- 1}) = \sqrt{\frac{β}{2 π}} exp (- \frac{1}{2} β (x - μ)^{2})

二維正態分佈的一般性公式為：

G (x, y; μ_{1}, μ_{2}, σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, ρ) = \frac{1}{2 π σ_{1} σ_{2} \sqrt{1 - ρ^{2}}} e x p (- \frac{1}{2 (1 - ρ^{2})} [\frac{(x - μ_{1})^{2}}{σ_{1}^{2}} - 2 ρ \frac{(x - μ_{1}) (x - μ_{2})}{σ_{1} σ_{2}} + \frac{(y - μ_{2})^{2}}{σ_{2}^{2}}])

更多細節，看Ref

而影象本身是二維離散訊號，在對影象進行高斯濾波的時候，我們通常採用各向均勻處理，所以影象中經常採用的是二維正態分佈最簡單的形式:

G (x, y; μ = 0, σ^{2}) = \frac{1}{2 π σ^{2}} exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} (x^{2} + y^{2}))