MIT 線性代數導論 第十四講:正交向量和子空間
阿新 • • 發佈:2019-01-05
第十三講是第一部分(主要是線性代數的基礎知識,四個子空間的關係)的複習課,所以沒有做記錄
本講的主要內容:
- 向量正交的定義以及證明方法
- 子空間正交的概念以及關於行空間、零空間的一些結論
向量正交
兩個向量正交的概念很直觀,就是:兩個向量的夾角為90°
線上性代數中,上述定義可以表述為:
對於向量 和 ,
對於上式的證明,我們可以通過勾股定理來理解,這裡要用到一個正規化的概念,其實簡單理解就是向量的長度:公式如下:
可以理解為勾股定理中兩直角邊平方之和等於斜邊平方,接下來將第二個式子代入第一個式子,化簡過程如下:
其中 和 相等,所以最終得證。
此外,根據向量正交的概念,零向量與所有的向量均正交
子空間正交
接下來將正交的概念推廣到空間,兩個空間 、 正交,表示:
任意 中的向量均與任意 中的向量正交
所以,不要理解為類似兩個平面垂直是正交之類的。。
下面回到線性方程組,討論行空間以及零空間是否正交?答案是 是的,將 展開(以3個方程為例):
分析上式,可以得知: 等等,符合向量正交的條件,以此類推,所有的行空間的向量都與零空間的向量正交,所以結論正確(上面的式子可以多個相加沒有問題,所以行向量的線性組合也符合正交)
對於類似行空間與零空間的一對空間,稱為正互動補空間(complements)
如何“解”無解的方程Ax=b
這個地方的解是指在一些情況下,會因為一些值的影響使得方程組無解,這時候我們就需要對方程進行一些處理,這個操作就是將矩陣 變為 ,之前提到過這個矩陣,我們瞭解到這個矩陣是一個方陣,並且對稱,這時候 也就變為 .
關於這個新的矩陣,有一下結論:
- 只有在 只有零空間的時候才可逆
上述結論在之後的學習中會具體證明
以上~