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題目描述：

知識點：位運算

思路：位運算

本題是LeetCode136——只出現一次的數字的加強版，下述解法討論均參考於Detailed explanation and generalization of the bitwise operation method for single numbers。

（1）問題的一般化：

給定一個非空整數陣列，除了某個元素只出現一次以外，其餘每個元素均出現了k（k > 1）次。找出那個只出現了p（p >= 1且p % k != 0）次的元素。

（2）考慮陣列中的元素不是0就是1的情況，即1位的情況

整數在計算機中是按位儲存的，一個int型的整數在計算機中是按32位儲存的。我們先考慮陣列中的元素不是0就是1的情況，即1位的情況。現在，我們需要統計陣列中1的數量，我們的統計規則是：當1的數量達到k時，從0開始重新計數，即1的數量為k時，相當於1的數量為0，而1的數量為k + 1時，相當於1的數量為1。我們用一個m位的二進位制數：xm, ..., x1來對1的數量進行計數。

從上述分析中，我們可以得出以下4點結論：

a：計數器的初始值是0，即xi = 0(i = 1, ..., m)。

b：遍歷陣列中的每一個元素，一旦遇到0，我們的計數器保持不變

c：遍歷陣列中的每一個元素，一旦遇到1，我們的計數器需要加1。

d：對於一個m位的二進位制數，其能計數到的最大值是2 ^ m - 1，而我們現在的計數最大值需要能夠達到k - 1，因此需要滿足條件2 ^ m >= k。

現在的關鍵問題在於：當我們遍歷陣列時，我們採取什麼樣的位操作使得xm, ..., x1的值發生變化呢？

考慮上述結論b，我們可以使用x = x | 0或x = x ^ 0這兩種操作來使得我們的計數器在遇到0時保持不變，我們究竟應該選擇哪種操作呢？

對實際過程進行模擬，從初始時刻開始，初始時xi = 0(i = 1, ..., m)。由於我們之前已經考慮了結論b，我們來考慮結論c。在遍歷陣列中的元素時，一旦我們遇到了第一個1，我們需要改變計數器的狀態為：xm = 0, ..., x2 = 0, x1 = 1

現在，我們的問題變成了：xm, ..., x2, x1狀態發生改變的條件是什麼？

對於x1，其發生改變的條件是：遍歷陣列時，遇到1。

對於x2，其發生改變的條件是：遍歷陣列時，遇到1，且x1 = 1。因為如果此時x1 = 0，那麼我們只需令x1 = 1就可以達到計數器加1的目的，無需改變其他位的值。

同理，對於xm，其發生改變的條件是，遍歷陣列時，遇到1，且xm - 1, ..., x1均為1。

現在，我們還存在的問題是：對於m位的二進位制數xm, ..., x1，其計數歸0的值是2 ^ m，而不是k。如何使得計數器在達到k時歸0？

我們需要設定一個變數mask，當計數器的值到達k時，mask = 0，其餘時刻mask = 1。這樣定義之後，我們只需要令xm = xm & mask, ..., x1 = x1 & mask就可以實現計數器在達到k時歸0的目的。

那麼，我們的問題就變成了：如何計算mask的值，使得其滿足上述定義呢？

對於數字k，我們將其表示成二進位制形式km, ..., k1。當我們的計數達到k時，顯然有xi = ki(i = 1, ..., m)。因此，mask = ~(y1 & y2 & ...& ym)，如果kj = 1，那麼yj = xj；如果kj = 0，那麼yj = ~xj(j = 1, ..., m)。

由上述分析可知，我們的演算法的偽碼如下：

for (int i : nums) {
    xm ^= (xm-1 & ... & x1 & i);
    xm-1 ^= (xm-2 & ... & x1 & i);
    .....
    x1 ^= i;
    
    mask = ~(y1 & y2 & ... & ym) where yj = xj if kj = 1, and yj = ~xj if kj = 0 (j = 1 to m).

    xm &= mask;
    ......
    x1 &= mask;
}

（3）考慮陣列中的元素是32位數的情況

現在，我們需要將陣列中的元素是1位數的情況推廣到32位數的情況。一個想法是對每一位都建立一個計數器，這樣就總共有32個計數器。當然，利用位運算的性質，我們可以用m個32位的整數來替代32個m位計數器，理由很簡單：按位運算僅適用於每個位，因此對不同位的操作彼此獨立。示意圖如下：

頂部的長方框代表一個32位的整數，每個位都對應一個m位的計數器（顯示在相應方框的下面）。由於按位運算對不同位的操作是彼此獨立的，我們可以把所有計數器的第m位組成一個32位的整數（如橙色方框所示）。在這個32位數中的所有位有著相同的位運算操作。由於每個計數器有m位，我們得到m個32位整數xm, ..., x1，但是現在這些都是32位的數，而不是（2）中的1位數，其餘的演算法部分和（2）中均相同。

（3）返回什麼結果

最後，我們需要明確的一個問題是：在xm, ..., x1中，哪一個是我們尋找的那個數呢？即哪個是出現了p次的數呢？

為了回答這個問題，我們需要理解xm, ..., x1分別代表的含義。以x1為例，其有32位，我們將其標記為r（r = 1, ..., 32）。在我們掃描了整個陣列之後，x1的第r位由陣列中所有數字的第r位確定。更準確地說，假設陣列中所有元素的第r位的1的數量為q，令q' = q % k，將q'表示成二進位制形式：q'm, ..., q'1，根據定義，x1的第r位和q'1相等。

那麼，現在我們的問題是：如果x1的第r位是1，這代表著什麼呢？

回答這個問題的關鍵是，我們必須明確哪些值能對x1的第r位造成影響？

那些在陣列中出現了k次的的數字顯然不會對x1的第r位造成影響。對x1的第r位造成影響的元素必須滿足兩個條件：

a：該元素的第r位是1。

b：該元素在陣列中的出現次數不是k的整數倍。

條件a是顯而易見的。對於條件b，是因為當該元素的出現次數滿k次時會歸0。因此，只有那個出現了p（p % k != 0）次的元素會對x1的第r位造成影響。如果p > k，那麼前面的k * [p / k]（[p / k]代表p / k的整數部分）個元素不會對x1的第r位造成影響。因此，我們需要令p' = p % k，且該元素出現的有效次數其實是p'次。

將p'寫成二進位制形式：p'm, ..., p'1（由於p' < k，所有其可以填充進m位二進位制數裡）。我們先丟擲一個結論：

xj和那個出現了p次的元素相等的條件是p'j = 1（j = 1, ..., m），下面給出證明。

如果xj的第r位是1，證明那個出現了p次的元素的第r位也是1（否則，沒有任何因素能使得xj的第r位是1）。我們只需要證明：如果xj的第r位是0，那麼那個出現了p次的元素的第r位也一定是0。

當xj的第r位是0時，假設那個出現了p次的元素的第r位是1。在遍歷完整個陣列之後，這個1會被計數p'次。根據定義，xj的第r位和p'j相等，而p'j = 1，因此xj的第r位時1，這就產生了矛盾。因此，我們得出結論：當p'j = 1時，xj的第r位和那個出現了p次的元素的第r位相等。由於對r = 1, ..., 32的每一位都有上述結論，因此當p'j = 1時，有xj和那個出現了p次的元素相等。

所以我們可以返回任意一個xj，只要滿足p'j = 1即可。

演算法的時間複雜度是O(n * logk)，其中n為陣列中的元素個數。空間複雜度是O(logk)。

注：

事實上有如下關係：(xj)_r = s_r & p'j，其中(xj)_r代表xj的第r位，s_r代表那個出現了p次的元素的第r位。

當p'j = 1時，(xj)_r = s_r。

當p'j = 0時，(xj)_r = 0。

因此我們得到：

當p'j = 1時，xj = s。

當p'j = 0時，xj = 0。

因此，我們最後也可以返回(x1 | x2 | ... | xm)。

對於本題而言，k = 3（二進位制：11），p = 1（二進位制：1）。因此我們只需取m = 2，用兩個32位數字x2和x1作為計數器。由於2 ^ m = 4 > k，因此我們需要一個mask變數，其值取為~(x1 & x2)。由於p表示為二進位制是1，因此我們直接返回x1即可。當然，我們也可以選擇返回（x1 | x2）。

時間複雜度是O(n)。空間複雜度是O(1)。

JAVA程式碼：

public class Solution {
    public int singleNumber(int[] nums) {
        int x1 = 0, x2 = 0, mask = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            x2 ^= x1 & nums[i];
            x1 ^= nums[i];
            mask = ~(x1 & x2);
            x2 &= mask;
            x1 &= mask;
        }
        return x1;
    }
}

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