【牛頓迭代逼近】求根號2的快速方法
如果要求根號2,比較快的方法有:1)二分法;2)牛頓迭代逼近法
二分法不多說了,很簡單。下面介紹牛頓迭代逼近法。
原理:X(n+1) = ( X(n) + P/X(n) ) / 2 (P為待開根的數字)
【source】:http://www.nowamagic.net/librarys/veda/detail/2268
牛頓迭代法(Newton's method)又稱為牛頓-拉夫遜方法(Newton-Raphson method),它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式,因此求精確根非常困難,甚至不可能,從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函式f(x)的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂,而且該法還可以用來求方程的重根、復根。另外該方法廣泛用於計算機程式設計中。
設r是f(x) = 0的根,選取x0作為r初始近似值,過點(x0,f(x0))做曲線y = f(x)的切線L,L的方程為y = f(x0)+f'(x0)(x-x0),求出L與x軸交點的橫座標 x1 = x0-f(x0)/f'(x0),稱x1為r的一次近似值。
過點(x1,f(x1))做曲線y = f(x)的切線,並求該切線與x軸交點的橫座標 x2 = x1-f(x1)/f'(x1),稱x2為r的二次近似值。重複以上過程,得r的近似值序列,其中x(n+1)=x(n)-f(x(n))/f'(x(n)),稱為r的n+1次近似值,上式稱為牛頓迭代公式。
根據牛頓迭代的原理,可以得到以下的迭代公式:X(n+1)=[X(n)+p/Xn]/2
一般性的程式設計方法如下:
double sqr(double n) {
double k=1.0;
while(abs(k*k-n)>1e-9) {
k=(k+n/k)/2;
}
return k;
}
求n的平方根,先隨便取一個不是0的數作為迭代開始的x(0),例如最簡單的x(0)=1,然後反覆代入x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]求得下一個x,代入次數越多解約精確。
例如,2的平方根:
- x(0) = 1
- x(1) = (1/2)(1+2/1) = 3/2 = 1.5
- x(2) = (1/2)[3/2+2/(3/2)] = 17/12 = 1.41666667
- x(3) = (1/2)[17/12 + 2/(17/12)] = 577/408 = 1.41421568…
就這樣,反覆代入上式計算,得到的值越來越精確。
或者這麼解釋:
- 對x的平方根的值一個猜想y。
- 通過執行一個簡單的操作去得到一個更好的猜測:只需要求出y和x/y的平均值(它更接近實際的平方根值)。
例如,可以用這樣方式去計算2的平方根。
猜想 | 商 | 平均值 |
1 | 2/1=2 | (2+1)/2 = 1.5 |
1.5 | 2/1.5=1.3333 | (1.3333+1.5)/2 = 1.4167 |
1.4167 | 2/1.4167=1.4118 | (1.4167+1.4118)/2=1.4142 |
1.4142 | ... | ... |
繼續這一計算過程,我們就能得到對2的平方根的越來越好的近似值。
下面用C語言實現一遍:
#include "stdio.h"
#include "math.h"
int main(void)
{
double n,y=1.0;
printf("請輸入一個需要求其平方根的數:");
scanf("%lf",&n);
// 反覆代入 x(k+1) = 0.5[x(k)+n/x(k)]
while(fabs((1.0/2.0*(y+n/y))-y)>=0.00001)
{
y=1.0/2.0*(y+n/y);
printf( "y=%lf\n", y );
}
printf("平方根為%f\n",y);
return 0;
}
程式執行結果:
請輸入一個需要求其平方根的數:2
y=1.500000
y=1.416667
y=1.414216
平方根為1.414216
請輸入一個需要求其平方根的數:3
y=2.000000
y=1.750000
y=1.732143
y=1.732051
平方根為1.732051
PS:Quake III公開原始碼後,有人在game/code/q_math.c裡發現了這樣一段程式碼。它的作用是將一個數開平方並取倒,經測試這段程式碼比(float)(1.0/sqrt(x))快4倍,有興趣的可以研究一下。不過這是後話了,
float Q_rsqrt( float number )
{
long i;
float x2, y;
const float threehalfs = 1.5F;
x2 = number * 0.5F;
y = number;
i = * ( long * ) &y;
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 );
y = * ( float * ) &i;
y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
// y = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );
#ifndef Q3_VM
#ifdef __linux__
assert( !isnan(y) );
#endif
#endif
return y;
}