一元函式的變化快慢可以用導數來判斷，其定義為：

對於多元函式其實也是類似的

其中gradf→=(f′(x),f′(y))，而f′(x)cosα+f′(y)cosβ 即為方向導數。同一元函式一樣，要想f(x,y)變化最大，就要使方向導數取到最大值。

1. 方向導數=梯度與一個單位向量的點積
2. a⃗ ⋅b⃗ =|a|×|b|×cos(a⃗ ,b⃗ )，可知當cos(a⃗ ,b⃗ )=1時，方向導數取最大值。此時，ab兩個向量同向，即梯度方向和單位向量方向一致，故在梯度方向取最大值。

知道方向導數在梯度方向取最大值，則在梯度方向f(x,y)變化最快。這裡又分為，沿著梯度方向函式值上升的最快，沿著負梯度方向函式值下降的最快。這兩個分別對應著方向導數的最大值的正負。在上面第二條裡還存在另外一個解，即a,b兩個向量反向，即梯度方向和單位向量方向相反，故在負梯度方向取最小值（也是負數）。所以在沿著負梯度方向函式值下降的最快。