3.圖學習在影象降噪中的經典演算法

3.1 Perturbation of the Eigenvectors of the Graph Laplacian: Application to Image Denoising（EGL演算法）
論文下載：http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1063520313000626
原始碼連結：http://ecee.colorado.edu/~fmeyer/software.html
在影象中，將影象抽取為影象塊，其中每一個影象塊可以作為圖論中一個頂點，根據影象塊與其他影象塊的相似度，構造圖——影象塊圖。在構造的影象塊的圖中，根據相似度和影象塊的位置關係進行度量， G

表示根據影象塊權重的關係構造的圖並進行如下定義：
（1）G 的頂點是由 N2patch個影象塊u(xn),n=1,...,N2patch 組成
（2）每一個頂點u(xn) 與其距離v 的相鄰塊構造圖關係，具體度量公式為：
（1）
（3）由此，定義在兩個頂點{u(xn),u(xm) }圖的權重 定義為：
（2）
式（2）中，引數 β≥0用於控制影象塊距離度量的影響。引數 δ控制在定義邊權重wn,m 影象塊u(xn),u(xm) 的距離相似度。
權重圖的權重矩陣 W是大小為N2patch×N2patch的均衡矩陣，其中W

n,m=wn,m 。頂點的度矩陣為大小N2patch×N2patch 對角矩陣B ，其中 Bn,n=∑N2m=1wn,m，最終得到歸一化的圖拉普拉斯矩陣L 。具體表示為：
（3）
式（3）中， I是單位矩陣。
矩陣L 有N2patch個特徵向量及其相關特徵值，每一個特徵向量是圖的一個頂點表示的向量。特徵向量是在圖中定義的一個正交基函式。通過特徵向量可以表示影象的結構，每一個畫素的顏色編碼是通過特徵向量定義的，不同特徵向量值表示影象的不同資訊，例如影象的亮度資訊在不同梯度的表示方法，影象的頻率內容與相關的特徵值有關。每一個基本的特徵向量函式的內部度量是由影象塊的大小確定的。
圖拉普拉斯的特徵向量降噪演算法（EGL）的主要思想是通過圖的特徵向量作為基函式將噪聲影象恢復為乾淨影象。具體來說，首先利用K-鄰近搜尋的方法對影象塊 進行處理，然後通過相似度和塊位置關係進行度量。
因為得到的拉普拉斯矩陣是半正定對稱矩陣，所以它的特徵值可以表示為 {

λi}Npatchi=1，當在階數上升時，用第一次特徵值λ1=0 表示，相對應的特徵向量為{ui}Npatchi=1 。
該演算法為了進行影象降噪，將降噪的影象塊[\widetilde Y]表示為：
（4）
式（4）中U=[u1,u2,...uH] 是包含 H個特徵向量的基函式。在實際應用中，該演算法通過迭代過程對含噪影象進行處理，主要分為兩步：第一步，使用少數的圖拉普拉斯的特徵向量對含噪影象進行影象結構增強獲得一個粗糙影象，將該粗糙影象作為乾淨影象的低通版本進行後續處理。根據得到權重平均值的含噪影象和粗糙影象，重構一個指導影象；第二步，通過相關的特徵向量對指導影象進行影象降噪。上述步驟可以描述為：
（5）
式（5）中，α 是權重係數， ,r˜和g 分別是含噪影象、粗糙影象，指導影象。 在該過程中，不同數目的特徵向量用來獲得粗糙和降噪的影象塊矩陣和。在該演算法中，不考慮特徵向量選擇的問題。

為驗證EGL演算法的降噪效果，本文中採用了512×512 畫素的影象集如圖所示進行實驗模擬。通過新增高斯噪聲為σ=10,20,40 進行降噪，利用MATLAB R2010b作為模擬工具進行驗證，得到的模擬結果如圖4.1所示。