探討一個問題

這兩天網路流行如圖的一個演示問題：

有點像伽利略匹薩斜塔試驗，打破了一些常識：走曲線的小球反而速度更快，奇怪也哉。

粗略的數值模擬

問題的分析用到的都是簡單物理原理，只是計算繁瑣一些，但是也沒有最速下降曲線那麼高階，只是引入了積分計算，還不至於引出變分法這樣高階的東西。

我對動圖中的兩條路徑做了簡化，一條平直線，一條直接取餘弦曲線了。只是兩個小球在初始位置，給予相同的初始動能。

粗略的數值模擬表明，初始速度較小的時候，紅色小球可以先於藍色小球到達終點，但是，如果初始動能較大，則藍色的會反超。

也就是說，在這個簡化了的數值模型中，走曲線的小球比走直線小球快的情形，對小球的初始動能是有要求的，初始動能有一個“臨界值”。

這個臨界值取決於曲線的方程，即使在本例中為了簡化分析，我用了曲線方程非常簡單的餘弦曲線，此時要想解析求解小球運動軌跡和時間的嚴格對應關係也很困難（估計是不可能），所以，數值模擬計算數值積分是比較合適的。

特別提示：到這裡，問題並沒有結束！為了得到關於原始問題的準確的結論，還必須往下看。

再深入一點探討

上面的兩個動態圖沒有考慮實際上走曲線的小球在何種初速度的情況下才能夠一直貼著曲線路面走的這一可能性的邊界。所以，分析的結果是粗糙的。而且，為了研究方便，假設與初速度無關，小球總能貼曲線路面走。這個假設不一定合理。

如果小球總能貼著餘弦曲線走，水平方向的初速度最大是多少？ 也就是，小球在無干擾的情況下平拋，其路徑是一條拋物線。拋物線在初始點處的曲率半徑必須小於餘弦曲線的曲率半徑，小球才可能一直沿著曲線路面走。

下面演示的是v0從 1 增加到 5 的過程中，藍色的拋物線跟紅色的餘弦曲線之間的位置關係對比。容易發現，隨著水平方向初速度增加，拋物線曲率半徑越來越大，小球可能一出發就跳出去、而不是貼著紅色的曲線走：

根據曲率半徑在 x=0 處拋物線和餘弦曲線相等，得到這個速度最大值是 vmax=10−−√≈3.16 （簡化起見，我取重力加速度為10）。

上面第一幅圖我設定初速度 v0=5， 第二幅 v0=12， 由此可見，只要小球所走的曲線是 1+cosx ，則走曲線的小球總能比走水平直線的快（這個結論還跟量綱有關，這裡就不進一步討論了，這裡預設取了SI制，所以所有量都沒有用單位）。——因為初始水平方向的速度大於 v

跳起來的路徑會是怎樣的？乒乓球跟鐵球肯定不同，答案不唯一了。

為了避免這樣的探討，可以把路徑做成鋼絲，小球上面中心穿孔，這樣就簡單了。從而，自由的走曲線路面的小球實際上跟被嚴格約束在特定曲線軌道上的小球，本質上是完全不同的兩個問題。也就是，前面的對問題的簡化和數值模擬，並不能反映原來的演示試驗的真實情形。由於簡化以至一個關鍵的約束條件發生了變化。

也就是，前面兩幅模擬動畫裡的紅色小球，實際上應該這麼畫：

定性結論

因為曲線不確定，只有定性才普適，所以，定性結論一下。假設曲線路面總是先下坡、再上坡，而且曲線的最高點不高於出發的水平位置（看似無關，實際上這些也對定性結論至關重要）。

如果對初始的速度不作考慮，則自由的走曲線路面的小球實際上跟被嚴格約束在特定曲線軌道上的小球，它們對應的問題，本質上是完全不同的兩類問題。也就是，前面的數值模擬，分析的是跟原始問題並不相同的另一類問題。

——自由的走曲線路面的小球，因為加速過程先於減速過程，加速過程中總有一個沿著曲線法線方向的支撐力，它和重力的合力總產生水平方向的對小球加速的力，導致其到達目的點總比水平路面上的快：只要速度增加的過程中、作用在小球上的重力和曲線路面對小球的支撐力在小球運動朝向相同的水平方向上有一個大於0的分量，平均是水平方向的速度就總是大於初始速度的，這就總產生曲線路面更快的效果。

——固定曲線軌道的問題之所以可能產生走曲線的小球在初速度足夠大時反而慢，是因為重力和支撐力的合力，在小球總速度增加的運動過程中，反而產生沿曲線法線方向斜向下的反向支撐力，這能使它跟重力的合力在水平方向的分力跟小球水平運動的方向相反、從而能使得小球的水平分速度平均低於初始水平速度。所以，小球在這種情形不能太快。——有一個彌補可能讓人寬慰：在固定的約束在特定曲線軌道上的小球，如果水平方向綜合表觀速度比初速度恆定的小球慢，那麼它在垂直方向上下落到底部應該比自由落體還快！這是能量守恆決定的。

只有當初始的水平方向的速度低於一個臨界值，——此時，拋物線總在路徑曲線下，出發點的曲率半徑大於拋物線的曲率半徑——曲線連續光滑、沒有更大的坡度，此時兩類問題才一致。——而原始問題在實際操作中，只是初始速度遠低於曲率臨界值的情形，可以用前面的數值方法分析，但是初始速度 v0 更低，所以，無其它能量損耗的理想情況下，不存在水平運動的小球追上曲線運動小球的可能性。

對全程的即時速度(即隨時間而變化的、是時間的函式的瞬時速度)在時間上做一個積分，才是數值模擬的時候需要比較的核心問題，才反映到底哪個更快這個答案的本質。

算了半天，發現得到的結論很蒼白，有點做了無用功的感覺。有些問題還是需要定量計算的幫助才能理解更深入透徹的。

其它

我把計算中涉及的一些公式和存在的問題放在另外一篇裡面了，不全面，也不完整，以後有時間慢慢改吧。

此外，為了修改原始的gif檔案，去掉開頭操作者從椅子上站起來的無用的細節，同時給初始幀足夠的停留時間以達到理想顯示效果，以及對曲率對比圖作簡單處理，gifsicle的操作是不可避免的：