問題：

         有12個小球，其中有一個的質量與其它小球不同。有一個天平，但沒有砝碼。將這12個小球在這個天平上稱3次，得到質量不同的那個小球。

思路：

         對於這個問題，我們無法知道，那個質量不同的小球相比其它的小球，質量是輕了，還是重了。這也是這個問題的一個難點。但是，從天平上，如果兩邊的小球質量不同，則天平不會平衡。我們首先將範圍縮小。如果對於3個小球，如果有一個質量不同，則需要稱2次才能發現那個質量不同的球。如果，事先，我們已經知道那個質量不同的小球比其它的小球輕了或者重了，則只需要稱1次就可發現那個質量不同的小球。這個問題的基本思路也是如此。對於本題，筆者有兩個解法。

解法1：

1. 將12個小球分成3組，每一組為4個小球。比如球1-4在組A，球5-8在組B，球9-12在組C。
2. 將組A與組B放到天平上稱。如果質量相同，則跳轉到第3步；如果不同，則跳轉到7步。
3. 如果，組A與組B質量相同，則說明質量不同的小球在組C。從組C中取兩個小球，如球9與球10。
4. 將球9與球10放到天平上稱。如果球9與球10質量相同，跳轉到第5步；如果不同，跳轉到第6步。
5. 球9與球10質量相同，則說明球11與球12中，有一個球的質量與其它的球不同。取球11與組A或者組B中任一小球稱。如果相同，則說明球12的質量不同；如果不同，則說明球11的質量不同。至此，共稱3次，發現了質量不同的小球。
6. 球9與球10質量不同，則說明球9與球10中，有一個球的質量與其它的球不同。取球9與組A或者組B中任一小球稱。如果相同，則說明球10的質量不同；如果不同，則說明球9的質量不同。至此，共稱3次，發現了質量不同的小球。
7.  組A與組B的質量不同，則說明在組A與組B中有一個小球與其它的小球質量不同。假設，稱的結果為組A比組B重。將球1、3、5設為組A1，球2、4、6設為組B1，再次放到天平上稱。
8. 如果，組A1比組B1重，則說明球1或者球3重，或者球6輕。將球1與球3放到天平上稱。如果球1比球3重，則說明球1為質量不同的小球。如果球1比球3輕，則說明球3為質量不同的小球。如果相同，則說明球6為質量不同的小球。至此，共稱3次，發現了質量不同的小球。
9. 如果，組A1比組B1輕，則說明球5輕，或者，球2或球4重。將球2與球4放在天平上稱。如果球2比球4重，則說明球2為質量不同的小球。如果球2比球4輕，則說明球4為質量不同的小於。說果相同，則說明球5為質量不同的小球。至此，共稱3次，發現了質量不同的小球。
10. 如果，組A1與組B1的質量相同，則說明球7或者球8中，有一個球的質量輕了。將球7與球8放在天平上。如果球7輕，則球7為質量不同的小球。如果球8輕，則說明球8為質量不同的小球。至此，共稱3次，發現了質量不同的小球。

解法2：

1. 與前一種方法的開始相同。將12個小球分成3組，每一組為4個小球。比如球1-4在組A，球5-8在組B，球9-12在組C。
2. 將組A與組B放到天平上稱。如果質量相同，則跳轉到第3步；如果不同，則跳轉到7步。
3. 如果，組A與組B質量相同，則說明質量不同的小球在組C。從組C中取兩個小球，如球9與球10。
4. 將球9與球10放到天平上稱。如果球9與球10質量相同，跳轉到第5步；如果不同，跳轉到第6步。
5. 球9與球10質量相同，則說明球11與球12中，有一個球的質量與其它的球不同。取球11與組A或者組B中任一小球稱。如果相同，則說明球12的質量不同；如果不同，則說明球11的質量不同。至此，共稱3次，發現了質量不同的小球。
6. 球9與球10質量不同，則說明球9與球10中，有一個球的質量與其它的球不同。取球9與組A或者組B中任一小球稱。如果相同，則說明球10的質量不同；如果不同，則說明球9的質量不同。至此，共稱3次，發現了質量不同的小球。
7. 組A與組B的質量不同，則說明在組A與組B中有一個小球與其它的小球質量不同。假設，稱的結果為組A比組B重。將球1、5、6、7設為組A1，將球8與組C中任取3球設為組B1。再次放在天平上稱。
8. 如果，組A1比組B1重，則說明球1重，或者球8輕。將球1與組C中任一球稱，如果球1相對更重，則說明球1為質量不同的小球。如果相同，則說明球8為質量不同的小球。至此，共稱3次，發現了質量不同的小球。
9.  如果，組A1比組B1輕，則說明球5、6、7中有一個球輕。取球5與球6在天平上稱。如果球5比球6輕，則說明球5為質量不同的小球。如果球5比球6重，則說明球6為質量不同的小球。如果相同，則說明球7為質量不同的小球。至此，共稱3次，發現了質量不同的小球。
10. 如果，組A1與組B1一樣重，則說明球2、3、4中有一個球重。取球2與球3在天平上稱。如果球2比球3重，則說明球2為質量不同的小球。如果球2比球3輕，則說明球3為質量不同的小球。如果相等，則說明球4為質量不同的小球。至此，共稱3次，發現了質量不同的小球。

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