MT【282】一道幾何題
2010浙江省數學競賽,附加題.
設$D,E,F$分別為$\Delta ABC$的三邊$BC,CA,AB$上的點,記$\alpha=\dfrac{BD}{BC},\beta=\dfrac{BD}{BC},\gamma=\dfrac{AF}{AB}$
證明:$S_{\Delta DEF}\ge\alpha\beta\gamma S_{\Delta ABC}$
證明:
$S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AFE}-S_{BDF}-S_{DCE}$
$=S_{ABC}(1-\sum\limits_{cyc}\alpha(1-\beta))$
故只需證明:
$\alpha\beta\gamma\le1-\sum\limits_{cyc}\alpha(1-\beta)$
$(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)\ge0$顯然成立.
MT【282】一道幾何題
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