1.飯後，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗過的碗一個一個地放進碗櫥摞成一摞。一共有n個不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也許因為小妹貪玩而使碗拿進碗櫥不及時，姐姐則把洗過的碗摞在旁邊，問：小妹摞起的碗有多少種可能的方式？

2.給定n個數，有多少種出棧序列？

3.一個有n個1和n個-1組成的字串，且前k個數的和均不小於0，那這種字串的總數為多少？

這三個問題具有相同的結構，三個問題是可以互相轉化。將姐姐放碗看做入棧操作，將妹妹放碗看做出棧操作。則問題一變為問題二。將入棧操作記為1，出棧記為-1，問題2變為問題3。

問題的答案是一個著名的數列，卡特蘭數。該問題的代數解法比較抽象，而運用到幾何上，用圖片來描述，卻有讓人恍然大悟的感覺。

    事實上，可以認為問題是，任意兩種操作，要求每種操作的總次數一樣，且進行第k次操作2前必須先進行至少k次操作1。我們假設一個人在原點，操作1是此人沿右上角45°走一個單位（一個單位設為根號2，這樣他第一次進行操作1就剛好走到（1,1）點），操作2是此人沿右下角45°走一個單位。第k次操作2前必須先進行至少k次操作1，就是說明所走出來的折線不能跨越x軸走到y=-1這條線上！在進行n次操作1和n此操作2後，此人必將到到達（2n，0）！若無跨越x軸的限制，折線的種數將為C（2n，n），即在2n次操作中選出n次作為操作1的方法數。

現在只要減去跨越了x軸的情況數。對於任意跨越x軸的情況，必有將與y=-1相交。找出第一個與y=-1相交的點k，將k點以右的折線根據y=-1對稱（即操作1與操作2互換了）。可以發現終點最終都會從（2n，0）對稱到（2n，-2）。由於對稱總是能進行的，且是可逆的。我們可以得出所有跨越了x軸的折線總數是與從（0,0）到（2n,-2）的折線總數。而後者的操作2比操作1要多0-（-2）=2次。即操作1為n-1,操作2為n+1。總數為C（2n，n-1）。

近日在複習資料結構，看到棧的時候，發現1個元素進棧，有1種出棧順序；2個元素進棧，有2種出棧順序；3個元素進棧，有5種出棧順序，那麼一個很自然地問題就是n個元素進棧，共有多少種出棧順序？

說來慚愧，以前學資料結構的時候竟然沒有考慮過這個問題。最近在看動態規劃，所以“子問題”這3個字一直在我腦中徘徊，於是解決這個問題的時候我也是用類似“子問題”的方法，說白了就是遞推公式。

我們把n個元素的出棧個數的記為f(n), 那麼對於1,2,3, 我們很容易得出：

f(1) = 1     //即 1

f(2) = 2    //即 12、21

                                     f(3) = 5

然後我們來考慮f(4), 我們給4個元素編號為a,b,c,d, 那麼考慮：元素a只可能出現在1號位置，2號位置，3號位置和4號位置(很容易理解，一共就4個位置，比如abcd,元素a就在1號位置)。

分析：

 1) 如果元素a在1號位置，那麼只可能a進棧，馬上出棧，此時還剩元素b、c、d等待操作，就是子問題f(3)；

 2) 如果元素a在2號位置，那麼一定有一個元素比a先出棧，即有f(1)種可能順序（只能是b），還剩c、d，即f(2)，     根據乘法原理，一共的順序個數為f(1) * f(2)；

 3) 如果元素a在3號位置，那麼一定有兩個元素比1先出棧，即有f(2)種可能順序（只能是b、c），還剩d，即f(1)，

    根據乘法原理，一共的順序個數為f(2) * f(1)；

 4) 如果元素a在4號位置，那麼一定是a先進棧，最後出棧，那麼元素b、c、d的出棧順序即是此小問題的解，即         f(3)；

結合所有情況，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

為了規整化，我們定義f(0) = 1；於是f(4)可以重新寫為：

f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0)

然後我們推廣到n，推廣思路和n=4時完全一樣，於是我們可以得到：

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)

即