Andrew Zhang
Tianjin Key Laboratory of Cognitive Computing and Application
Tianjin University
Oct 23, 2015

本文基於斯坦福Andrew NG講義和李航統計學習方法。

一、拉格朗日乘數法
考慮如下等式約束優化問題。
minw f(w)
s.t. hi(w)=0,i=1,2,...,l.
在運籌學中有很多這樣的例子劃歸到動態規劃中。在數學分析中，一般是採用拉格朗日乘數法求解。
L(w,β)=f(w)+∑li=1βihi(w)
其中βi叫做拉格朗日乘數。
這裡通過求解如下方程組得到w

,β
∂L∂wi=0
∂L∂βi=0

二、廣義拉格朗日乘數法
考慮如下帶不等式的約束優化問題。
minw f(w)
s.t. gi(w)≤0,i=1,2,...,k.
　　 hi(w)=0,i=1,2,...,l.
　　 (1)
對於符合上述標準形式的約束優化問題可以採用廣義拉格朗日乘數法求解。
L(w,α,β)=f(w)+∑ki=1αigi(w)+∑li=1βihi(w)(2)
注：在這裡我們主要為了匯出他的對偶問題以及在什麼情況下可以用通過它的對偶問題來對元問題進行求解，因此這裡我們不做偏導求解。
在這裡為了得到和公式(1)等價的問題，我們定義
θp(w)=maxα,

β:αi≥0L(w,α,β)(3)
θp(w)=maxα,β:αi≥0f(w)+∑ki=1αigi(w)+∑li=1βihi(w)(3)
這裡下標p表示這是原問題的表述。在這裡可以驗證如果w違反公式(1)的任何一個約束就會有θp(w)=∞。
因此有
θp(w)={f(w)∞}{w滿足公式(1)裡面的約束otherwise}(4)
因此公式1可以化為最小化問題
minwθp(w)
即

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