堆排序，顧名思義，就是把待排序的資料按照一定的規則放到一個堆裡面去。不過，這裡這個堆不同於其他堆，這裡的堆是一顆完全二叉樹。那什麼是完全二叉樹呢，就是葉節點只能在最後一層或者倒數第二層，並且最後一層的結點都集中在該層最左邊的若干位置的二叉樹。

堆排序的基本思想就是構造一顆完全二叉樹，使得子節點的值均不大於（不小於）父節點，不大於對應大根堆，不小於對於小根堆。至於左右子節點的大小關係無所謂的啦。是不是有點抽象啦，咱們看圖講故事（此處我們使用大根堆）。

以陣列A$A$為例，左側是沒有加任何約束構造出來的完全二叉樹，右邊是按照大根堆的規則調整得到的完全二叉樹。

那如何將左側的完全二叉樹調整為右側的二叉樹呢？我們接著往下看。
按照從上往下的順序，依次比較每個父節點跟左右子節點的大小。當父節點的元素值小於左子節點的元素值或者右子節點的元素值時，將父節點的元素值與左右子節點較大的元素值進行交換。

程式碼實現如下：

void percDown(int a[], int n)
{
    for(int i = 0; 2*i+1 < n; i++)
    {
        //存在左子節點
        if(a[i] < a[2*i+1])
        {
            swap(&a[i],&a[2*i+1]);
        }
        //存在右子節點
        if(a[i] < a[2*i+2] && 2*i+2 < n)
        {
            swap(&a[i],&a[2
 
*i+2]);
        }
    }
}

通過第一輪的調整，較小的元素已經沉到底部，最後一層節點的值均小於父節點。重複該過程log2(n+1)$lo{g}_2(n+1)$次，n$n$為總節點的個數，即陣列的長度（深度為k$k$的完全二叉樹的節點個數為[2k−1,2k−1]$[2^{k-1},2^k-1]$），直至每一層節點均小於父節點。

至此，陣列中的最大元素已經上浮至根節點。接下來，交換第一個元素跟最後一個元素的值，則陣列最後一個元素為當前最大的元素。（最後一個節點已經有序，後續討論不再包括該節點）

對於剩餘的n−1$n-1$個節點，由於剛剛的交換破壞了原有的最大堆，因此重複之前的二叉樹調整操作，得到新的最大堆。（此處的調整隻需進行一輪即可）

再次交換第一個節點和當前最後一個節點（即第n−1$n-1$個節點）的值，則倒數第二個節點歸位。

重複上述過程，直至第一個節點歸位。

程式碼實現如下：

void output(int a[], int n)
{
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        cout<<a[i]<<'\t';
    }
    cout<<endl;
}

void swap(int *x, int *y)
{
    int tmp = *x;
    *x = *y;
    *y = tmp;
}

void heapSort(int a[], int n)
{
    // 重複若干輪構造初始最大堆
    for(int i = 0; i < log(n+1)/log(2)-1; i++)
    {
        percDown(a, n);
        output(a,n);
    }
    // 依次將最大元素歸位，重新調整最大堆
    for(int i = n-1; i >= 0; i--)
    {
        swap(a[0], a[i]);
        percDown(a, i);
        output(a,n);
    }
}