k-means演算法與Python實踐
機器學習演算法與Python實踐這個系列主要是參考《機器學習實戰》這本書。因為自己想學習Python,然後也想對一些機器學習演算法加深下了解,所以就想通過Python來實現幾個比較常用的機器學習演算法。恰好遇見這本同樣定位的書籍,所以就參考這本書的過程來學習了。
機器學習中有兩類的大問題,一個是分類,一個是聚類。分類是根據一些給定的已知類別標號的樣本,訓練某種學習機器,使它能夠對未知類別的樣本進行分類。這屬於supervised learning(監督學習)。而聚類指事先並不知道任何樣本的類別標號,希望通過某種演算法來把一組未知類別的樣本劃分成若干類別,這在機器學習中被稱作 unsupervised learning (無監督學習)。在本文中,我們關注其中一個比較簡單的聚類演算法:k-means演算法。
一、k-means演算法
通常,人們根據樣本間的某種距離或者相似性來定義聚類,即把相似的(或距離近的)樣本聚為同一類,而把不相似的(或距離遠的)樣本歸在其他類。
我們以一個二維的例子來說明下聚類的目的。如下圖左所示,假設我們的n個樣本點分佈在圖中所示的二維空間。從資料點的大致形狀可以看出它們大致聚為三個cluster,其中兩個緊湊一些,剩下那個鬆散一些。我們的目的是為這些資料分組,以便能區分出屬於不同的簇的資料,如果按照分組給它們標上不同的顏色,就是像下圖右邊的圖那樣:
如果人可以看到像上圖那樣的資料分佈,就可以輕鬆進行聚類。但我們怎麼教會計算機按照我們的思維去做同樣的事情呢?這裡就介紹個集簡單和經典於一身的k-means演算法。
k-means演算法是一種很常見的聚類演算法,它的基本思想是:通過迭代尋找k個聚類的一種劃分方案,使得用這k個聚類的均值來代表相應各類樣本時所得的總體誤差最小。
k-means演算法的基礎是最小誤差平方和準則。其代價函式是:
式中,μc(i)表示第i個聚類的均值。我們希望代價函式最小,直觀的來說,各類內的樣本越相似,其與該類均值間的誤差平方越小,對所有類所得到的誤差平方求和,即可驗證分為k類時,各聚類是否是最優的。
上式的代價函式無法用解析的方法最小化,只能有迭代的方法。k-means演算法是將樣本聚類成 k個簇(cluster),其中k是使用者給定的,其求解過程非常直觀簡單,具體演算法描述如下:
1、隨機選取 k個聚類質心點
2、重複下面過程直到收斂 {
對於每一個樣例 i,計算其應該屬於的類:
對於每一個類 j,重新計算該類的質心:
}
下圖展示了對n個樣本點進行K-means聚類的效果,這裡k取2。
其虛擬碼如下:
********************************************************************
建立k個點作為初始的質心點(隨機選擇)
當任意一個點的簇分配結果發生改變時
對資料集中的每一個數據點
對每一個質心
計算質心與資料點的距離
將資料點分配到距離最近的簇
對每一個簇,計算簇中所有點的均值,並將均值作為質心
********************************************************************
二、Python實現
我使用的Python是2.7.5版本的。附加的庫有Numpy和Matplotlib。在程式碼中已經有了比較詳細的註釋了。不知道有沒有錯誤的地方,如果有,還望大家指正(每次的執行結果都有可能不同)。裡面我寫了個視覺化結果的函式,但只能在二維的資料上面使用。直接貼程式碼:
kmeans.py
#################################################
# kmeans: k-means cluster
# Author : zouxy
# Date : 2013-12-25
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
# Email : [email protected]
#################################################
from numpy import *
import time
import matplotlib.pyplot as plt
# calculate Euclidean distance
def euclDistance(vector1, vector2):
return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2)))
# init centroids with random samples
def initCentroids(dataSet, k):
numSamples, dim = dataSet.shape
centroids = zeros((k, dim))
for i in range(k):
index = int(random.uniform(0, numSamples))
centroids[i, :] = dataSet[index, :]
return centroids
# k-means cluster
def kmeans(dataSet, k):
numSamples = dataSet.shape[0]
# first column stores which cluster this sample belongs to,
# second column stores the error between this sample and its centroid
clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))
clusterChanged = True
## step 1: init centroids
centroids = initCentroids(dataSet, k)
while clusterChanged:
clusterChanged = False
## for each sample
for i in xrange(numSamples):
minDist = 100000.0
minIndex = 0
## for each centroid
## step 2: find the centroid who is closest
for j in range(k):
distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])
if distance < minDist:
minDist = distance
minIndex = j
## step 3: update its cluster
if clusterAssment[i, 0] != minIndex:
clusterChanged = True
clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2
## step 4: update centroids
for j in range(k):
pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]]
centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis = 0)
print 'Congratulations, cluster complete!'
return centroids, clusterAssment
# show your cluster only available with 2-D data
def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):
numSamples, dim = dataSet.shape
if dim != 2:
print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"
return 1
mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', '<r', 'pr']
if k > len(mark):
print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy"
return 1
# draw all samples
for i in xrange(numSamples):
markIndex = int(clusterAssment[i, 0])
plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex])
mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', '<b', 'pb']
# draw the centroids
for i in range(k):
plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i], markersize = 12)
plt.show()
testSet.txt
1.658985 4.285136
-3.453687 3.424321
4.838138 -1.151539
-5.379713 -3.362104
0.972564 2.924086
-3.567919 1.531611
0.450614 -3.302219
-3.487105 -1.724432
2.668759 1.594842
-3.156485 3.191137
3.165506 -3.999838
-2.786837 -3.099354
4.208187 2.984927
-2.123337 2.943366
0.704199 -0.479481
-0.392370 -3.963704
2.831667 1.574018
-0.790153 3.343144
2.943496 -3.357075
-3.195883 -2.283926
2.336445 2.875106
-1.786345 2.554248
2.190101 -1.906020
-3.403367 -2.778288
1.778124 3.880832
-1.688346 2.230267
2.592976 -2.054368
-4.007257 -3.207066
2.257734 3.387564
-2.679011 0.785119
0.939512 -4.023563
-3.674424 -2.261084
2.046259 2.735279
-3.189470 1.780269
4.372646 -0.822248
-2.579316 -3.497576
1.889034 5.190400
-0.798747 2.185588
2.836520 -2.658556
-3.837877 -3.253815
2.096701 3.886007
-2.709034 2.923887
3.367037 -3.184789
-2.121479 -4.232586
2.329546 3.179764
-3.284816 3.273099
3.091414 -3.815232
-3.762093 -2.432191
3.542056 2.778832
-1.736822 4.241041
2.127073 -2.983680
-4.323818 -3.938116
3.792121 5.135768
-4.786473 3.358547
2.624081 -3.260715
-4.009299 -2.978115
2.493525 1.963710
-2.513661 2.642162
1.864375 -3.176309
-3.171184 -3.572452
2.894220 2.489128
-2.562539 2.884438
3.491078 -3.947487
-2.565729 -2.012114
3.332948 3.983102
-1.616805 3.573188
2.280615 -2.559444
-2.651229 -3.103198
2.321395 3.154987
-1.685703 2.939697
3.031012 -3.620252
-4.599622 -2.185829
4.196223 1.126677
-2.133863 3.093686
4.668892 -2.562705
-2.793241 -2.149706
2.884105 3.043438
-2.967647 2.848696
4.479332 -1.764772
-4.905566 -2.911070
test_kmeans.py
#################################################
# kmeans: k-means cluster
# Author : zouxy
# Date : 2013-12-25
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
# Email : [email protected]
#################################################
from numpy import *
import time
import matplotlib.pyplot as plt
from kmeans import *
## step 1: load data
print "step 1: load data..."
dataSet = []
fileIn = open('/home/hk/Documents/dd/testSet.txt')
for line in fileIn.readlines():
lineArr = line.strip().split('\t')
dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
## step 2: clustering...
print "step 2: clustering..."
dataSet = mat(dataSet)
k = 4
centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)
## step 3: show the result
print "step 3: show the result..."
showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)
注:不能直接跑通
要把程式碼
test_kmeans.py 增加一行
: from kmeans import *
修改後程式碼下載(無需積分喲):點選開啟連結
執行的結果是:
四、演算法分析
k-means演算法比較簡單,但也有幾個比較大的缺點:
(1)k值的選擇是使用者指定的,不同的k得到的結果會有挺大的不同,如下圖所示,左邊是k=3的結果,這個就太稀疏了,藍色的那個簇其實是可以再劃分成兩個簇的。而右圖是k=5的結果,可以看到紅色菱形和藍色菱形這兩個簇應該是可以合併成一個簇的:
(2)對k個初始質心的選擇比較敏感,容易陷入區域性最小值。例如,我們上面的演算法執行的時候,有可能會得到不同的結果,如下面這兩種情況。K-means也是收斂了,只是收斂到了區域性最小值:
(3)存在侷限性,如下面這種非球狀的資料分佈就搞不定了:
(4)資料庫比較大的時候,收斂會比較慢。
k-means老早就出現在江湖了。所以以上的這些不足也被世人的目光敏銳的捕捉到,並融入世人的智慧進行了某種程度上的改良。例如問題(1)對k的選擇可以先用一些演算法分析資料的分佈,如重心和密度等,然後選擇合適的k。而對問題(2),有人提出了另一個成為二分k均值(bisecting k-means)演算法,它對初始的k個質心的選擇就不太敏感,這個演算法我們下一個博文再分析和實現。
五、參考文獻
[3] http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/17589329相關推薦
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