BST

即二叉搜尋樹：

1.所有非葉子結點至多擁有兩個兒子（Left和Right）；

2.所有結點儲存一個關鍵字；

3.非葉子結點的左指標指向小於其關鍵字的子樹，右指標指向大於其關鍵字的子樹；

如：

B-樹（B樹）

是一種多路搜尋樹（並不是二叉的）：

1.定義任意非葉子結點最多隻有M個兒子；且M>2；

2.根結點的兒子數為[2, M]；

3.除根結點以外的非葉子結點的兒子數為[M/2, M]；

4.每個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關鍵字；（至少2個關鍵字）

5.非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指標個數-1；

6.非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且

7.非葉子結點的指標：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小於K[1]的子樹，P[M]指向關鍵字大於K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬於(K[i-1], K[i])的子樹；

8.所有葉子結點位於同一層；

如：（M=3）

B-樹的搜尋，從根結點開始，對結點內的關鍵字（有序）序列進行二分查詢，如果命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指標為空，或已經是葉子結點；

B-樹的特性：

1.關鍵字集合分佈在整顆樹中；

2.任何一個關鍵字出現且只出現在一個結點中；

3.搜尋有可能在非葉子結點結束；

4.其搜尋效能等價於在關鍵字全集內做一次二分查詢；

5.自動層次控制；

由於限制了除根結點以外的非葉子結點，至少含有M/2個兒子，確保了結點的至少利用率，其最底搜尋效能為O(LogN)

B+樹

B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜尋樹：

1.其定義基本與B-樹同，除了：

2.非葉子結點的子樹指標與關鍵字個數相同；

3.非葉子結點的子樹指標P[i]，指向關鍵字值屬於[ K[i], K[i+1] )的子樹（B-樹是開區間）；

5.為所有葉子結點增加一個鏈指標；

6.所有關鍵字都在葉子結點出現；

如：（M=3）

B+的搜尋與B-樹也基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中（

B+的特性：

1.所有關鍵字都出現在葉子結點的連結串列中（稠密索引），且連結串列中的關鍵字恰好是有序的；

2.不可能在非葉子結點命中；

3.非葉子結點相當於是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當於是儲存（關鍵字）資料的資料層；

4.更適合檔案索引系統；

B+樹比B-樹的優勢：

1 不同於B-樹只適合隨機檢索，B+樹同時支援隨機檢索和順序檢索，在實際中應用比較多。

2 為什麼說B+樹比B-樹更適合實際應用中作業系統的檔案索引和資料庫索引？

1) B+樹的磁碟讀寫代價更低

B+樹的內部結點並沒有指向關鍵字具體資訊的指標。因此其內部結點相對B 樹更小。如果把所有同一內部結點的關鍵字存放在同一盤塊中，那麼盤塊所能容納的關鍵字數量也越多。一次性讀入記憶體中的需要查詢的關鍵字也就越多。相對來說IO讀寫次數也就降低了。

舉個例子，假設磁碟中的一個盤塊容納16bytes，而一個關鍵字2bytes，一個關鍵字具體資訊指標2bytes。一棵9階B-tree（一個結點最多8個關鍵字）的內部結點需要2個盤塊。而B+樹內部結點只需要1個盤快（全部關鍵字都在葉結點的緣故？）。當需要把內部結點讀入記憶體中的時候，B-樹就比B+樹多一次盤塊查詢時間（在磁碟中就是碟片旋轉的時間）。（其實可以這麼理解B-tree B+的空間利用率的區別，假如記憶體有一段儲存空間，如果儲存B-tree的節點，假如可以儲存10個，因為在b-tree的節點中可以發現，10個節點中最少有一般是指標，也就是這些空間可以索引10個key，假如儲存b+樹的節點，10個節點中都是索引，那麼每一個索引是可以指向一個連結串列的）

2) B+樹的查詢效率更加穩定

由於非終結點並不是最終指向檔案內容的結點，而只是葉子結點中關鍵字的索引。所以任何關鍵字的查詢必須走一條從根結點到葉子結點的路。所有關鍵字查詢的路徑長度相同，導致每一個數據的查詢效率相當。

3 B+樹和B-樹最大的不同點是：

1）B-樹的關鍵字和記錄是放在一起的，葉子節點可以看作外部節點，不包含任何資訊；B+樹的非葉子節點中只有關鍵字和指向下一個節點的索引，記錄只放在葉子節點中。

2）在B-樹中，越靠近根節點的記錄查詢時間越快，只要找到關鍵字即可確定記錄的存在；而B+樹中每個記錄的查詢時間基本是一樣的，都需要從根節點走到葉子節點，而且在葉子節點中還要再比較關鍵字。從這個角度看B-樹的效能好像要比B+樹好，而在實際應用中卻是B+樹的效能要好些。因為B+樹的非葉子節點不存放實際的資料，這樣每個節點可容納的元素個數比B-樹多，樹高比B-樹小，這樣帶來的好處是減少磁碟訪問次數。儘管B+樹找到一個記錄所需的比較次數要比B-樹多，但是一次磁碟訪問的時間相當於成百上千次記憶體比較的時間，因此實際中B+樹的效能可能還會好些，而且B+樹的葉子節點使用指標連線在一起，方便順序遍歷（例如檢視一個目錄下的所有檔案，一個表中的所有記錄等），這也是很多資料庫和檔案系統使用B+樹的緣故。

B*樹

是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指標；

B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3（代替B+樹的1/2）；

B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的資料複製到新結點，最後在父結點中增加新結點的指標；B+樹的分裂隻影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指標；

B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那麼將一部分資料移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，並各複製1/3的資料到新結點，最後在父結點增加新結點的指標；

所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高；

小結

BST樹：二叉搜尋樹，每個結點只儲存一個關鍵字，等於則命中，小於走左結點，大於走右結點；

B-樹（B樹）：多路搜尋樹，每個結點儲存M/2到M個關鍵字，非葉子結點儲存指向關鍵字範圍的子結點；所有關鍵字在整顆樹中出現，且只出現一次，非葉子結點可以命中；

B+樹：在B-樹基礎上，為葉子結點增加連結串列指標，所有關鍵字都在葉子結點中出現，非葉子結點作為葉子結點的索引；B+樹總是到葉子結點才命中；

B*樹：在B+樹基礎上，為非葉子結點也增加連結串列指標，將結點的最低利用率從1/2提高到2/3；