【歐幾里得演算法】

在介紹擴充套件歐幾里得演算法之前，我先簡單介紹一下歐幾里得演算法

歐幾里得演算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a，b的最大公約數。

下面的 gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，mod 是取餘，div 是整除

其中有一個定理：gcd（a，b）= gcd（b，a mod b）

證明摘自百度（連結戳這裡）

證明：a可以表示成 a = kb + r，則 r = a mod b

假設 d 是 a , b 的一個公約數，則有

d | a, d | b，而 r = a - kb，因此d | r

因此d是 ( b , a mod b ) 的公約數

假設d 是 ( b , a mod b ) 的公約數，則

d | b , d | r ，但是 a = kb + r

因此d也是 ( a , b ) 的公約數

那麼 ( a , b ) 和 ( b , a mod b ) 的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證

所以說若我們不斷地這樣除下去，直到 a mod b 等於 0 時，答案就是 b

程式碼如下：

int gcd(int a,int b)
{
	int r=a%b;
	while(r!=0)
	{
		a=b;
		b=r;
		r=a%b;
	}
	return b;
}

【擴充套件歐幾里得演算法】

那麼接下來是我們的重頭戲——擴充套件歐幾里得演算法

定理：若 a，b 不全為 0，則存在整數 x 和 y，使得 ax + by = gcd（a，b）

有些問題要我們求出這樣的方程的一組整數解

推導過程如下：

若  ，那麼 

我們可以找出一組  滿足 

一直這樣下去（這是一個遞迴的過程），直到  時，此時  就是一組合法的解，再代回去就行了

程式碼如下：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
}

【例題】

例題傳送門同餘方程

這道題主要是要把原問題轉換成 ax + by = 1 的形式，然後就可以用擴歐了

還有由於 x 要是正整數，所以輸出答案時我們要把它轉成正的，即 x = ( x + b ) % b

程式碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
}
int main()
{
	int a,b,x,y;
	scanf("%d%d",&a,&b);
	exgcd(a,b,x,y);
	printf("%d",(x+b)%b);
	return 0;
}

另外，再推薦一道例題青蛙的約會，也是一道裸的模板題，A了可以去洛谷交一下這道題，感覺洛谷的資料強一些