$Matrix-Tree$定理-理論
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矩陣的行列式
這個東西看了好久才明白 _ (:з」∠)_ 時間不夠可以直接跳到第六段。
看到這種新定義，第一反應還是去翻百度百科：
但是這個講解真的讓人很迷惑...關鍵就是第二段的開頭，突然出現了“n階行列式”這麽一個詞，我到現在也沒有明白...在這個地方好像就是“n階矩陣”的意思？而且它還出現了奧妙重重的遞歸計算，導致完全看不懂行列式到底是個什麽東西。
點開一個叫做“余子式”的詞條，裏面有這麽一句話：
“行列式的階越低越容易計算，於是很自然地提出，能否把高階行列式轉換為低階行列式來計算。”
? 這才像話嘛，雖然沒有說行列式是什麽，但是至少說明了為什麽一上來就是一通遞歸。後來又看了一些資料，發現行列式的關鍵是“式”，而不能將它簡單地認為是一個數，否則很難理解。首先二維矩陣的行列式相當於叉積，三維矩陣的行列式也有幾何意義，就是一個平行六面體的體積。所以說了這麽多還是不知道行列式是什麽啊
? ${det(K)=}\sum_{P}^{ }\;{(}{(-1)}^{\tau{(P)}}\times{K}_{1,p1}\times{K}_{2,p2}\times{K}_{3,p3}\times\cdots\times{K}_{N,pN}{)}$
然後找到這麽一個式子，也是算行列式的，這裏面 $P$ 是一個$1-n$ 的排列， $\tau{(P)}$ 表示排列 $P$ 的逆序對數目。
其實上面那些都沒什麽用處，畢竟最後我也沒弄明白...其實學這些關鍵還是要用，所以跳過證明，直接看結論：
1.交換矩陣的兩行或兩列，行列式變號；
2.如果矩陣有兩行或兩列完全相同，行列式為0；
3.將矩陣某行或某列的所有元素同乘以k後，行列式的值也乘以k；
4.將矩陣的某一行/列加上另一行/列的k倍，行列式的值不變；
有了這些結論，事情就變得非常簡單。將矩陣用高斯消元消成一個上三角矩陣，發現一個有趣的性質：
上三角矩陣的行列式是對角線的乘積；
這裏要用到的是最復雜的那個行列式，當且僅當 $P$ 為 $1$ $2$ $3$ $4$ $...$ 時，連乘的那些項中才會沒有 $0$ ，所以就可以很簡單的求出行列式的值了。可喜可賀！
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別忘了今天的主題是什麽呀...
首先看一個新概念：$Kirchhoff$ 矩陣；為了理解它，還要復習兩個比較簡單的舊概念：
度數矩陣：一個 $N \times N$ 的矩陣，其中 $D[i][i]$=$i$ 的度數；
鄰接矩陣：一個 $N \times N$ 的矩陣，其中 $A[i][j]$=$i,j$ 間的邊數；
$Kirchhoff$ 矩陣：$K=D-A$
事情突然變得簡單起來....先求出$Kirchhoff$ 矩陣，任意刪掉一行一列，再求行列式，就是生成樹的個數啦！是不是非常神奇呢？復雜度 $O(n^3)$。
對於用這種方法求出來的值，我們還可以有另一種理解方式：
$\sum_T\prod_{e \in T} \omega_e$
這個式子的意思是，枚舉每棵可能存在的生成樹，將邊的存在性相乘，如果每條邊都存在，也就是一棵生成樹，答案就加一。有了這個式子，就可以擴展出一些有趣的東西來了。
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