三邊形面積(海倫公式及拓展)
三角形面積
海倫公式
海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫-秦九韶公式。它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式。
公式表述
海倫公式:
假設在平面內,有一個三角形,邊長分別為a、b、c,三角形的面積S可由以下公式求得:
而公式裡的p為半周長(周長的一半):
注1:"Metrica"《度量論》手抄本中用s作為半周長,所以
和
兩種寫法都是可以的,但多用p作為半周長。
它的特點是形式漂亮,便於記憶。
推廣拓展
一般來講僅用四邊長無法表達某個四邊形面積(某些特例除外),必須新增某些條件,比如角、對角線等。
婆羅摩笈多(Brahmagupta)在公元7世紀初的一部論及天文的著作中,給出了用四邊長a、b、c、d表達圓內接四邊形面積的婆羅摩笈多公式:
其中:
公式無論從形式上還是內容上都是海倫公式的延拓與推廣,但它僅適用於圓內接四邊形。當然, 為四邊形對角和之半時,依然有公式:
由於任何n邊的多邊形都可以分割成(n-2)個三角形,所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式,但需要先知道分割用的對角線的長度。
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