歐幾里德演算法
  歐幾里德演算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個整數a,b的最大公約數。其計算原理依賴於下面的定理：
  定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
  證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
  假設d是a,b的一個公約數，則有
  d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
  因此d是(b,a mod b)的公約數
  假設d 是(b,a mod b)的公約數，則
  d | b , d |r ，但是a = kb +r
  因此d也是(a,b)的公約數
  因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等

  int Gcd(int a, int b)
  {
  if(b == 0)
  return a;
  return Gcd(b, a % b);
  }

注： a > b
  當然你也可以寫成迭代形式：

  int Gcd(int a, int b)
  {
  while(b != 0)
  {
  int r = b;
  b = a % b;
  a = r;
  }
  return a;
  }

  本質上都是用的上面那個原理。
  補充: 擴充套件歐幾里德演算法是用來在已知a, b求解一組p，q使得p * a+q * b = Gcd(p, q) (解一定存在，根據數論中的相關定理)。擴充套件歐幾里德常用在求解模線性方程及方程組中。下面是一個使用C++的實現：

  int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)       {
  if(b == 0)
  {
  x = 1;
  y = 0;
  return a;
  }
  int r = exGcd(b, a % b, x, y);
  int t = x;
  x = y;
  y = t - a / b * y;
  return r;
  }

//x, y非已知量，  只是為了求到     a‘’ *x + b‘’ *y = gcd(a‘’, b‘’) 中x,y的值       (設gcd(a,b) 中b為0時，即a為最大公約數時，的a,b為a‘’ b‘’;)，然後倒著往回推，對於a0*x0 + b0*y0 = gcd(a0,b0)  和 a1*x1 + b1*y1 = gcd(a1,b1)  有a1 = b0; b1 = a0 % b0; 

且gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，詳細見下文。。。無論是x0,y0,x1,y1·····的值我們都沒法求，只能求得b = 0時的 x,y值····由此逆向原路返回即可得到原x,y的值

  把這個實現和Gcd的遞迴實現相比，發現多了下面的x,y賦值過程，這就是擴充套件歐幾里德演算法的精髓。
  可以這樣思考:
  對於a' = b, b' = a % b 而言，我們求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
  由於b' = a % b = a - a / b * b (注：這裡的/是程式設計語言中的除法)
  那麼可以得到:
  a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
  bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
  ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
  因此對於a和b而言，他們的相對應的p，q分別是 y和(x-a/b*y)
  補充：關於使用擴充套件歐幾里德演算法解決不定方程的辦法
  對於不定整數方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,則該方程存在整數解，否則不存在整數解。
  上面已經列出找一個整數解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一組解p0,q0後，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整數解滿足：
  p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 
  q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t為任意整數)
  至於pa+qb=c的整數解，只需將p * a+q * b = Gcd(p, q)的每個解乘上 c/Gcd(p, q) 即可

  對於線性同餘數方程可採取轉化為 a*x + b*y = c 的形式求解，如 a*x ≡b(mod c) 有 a*x + kc = b  (b | gcd(a,c)時有解) 可根據擴充套件

  的歐幾里得演算法求解。此時是求x最小正整數。。x*c/gcd(a,c) 可能為負數，做如下處理即可 (x*c/gcd(a,c)%b + b)%b。。