將1到9的數字按照一定方式填入九宮格內。使得每一列、每一行以及兩條對角線上的值都相等。

全排列（遞歸）

首先，用枚舉法，生成各種(3, 3)的二維數組：

def perm(li):
    """遞歸實現列表的全排列
    如果輸入是[1]，那麽返回[[li],]表示有一種排列
    如果輸入是[1, 2]，期望的返回的是[[1, 2], [2, 1]]，這是要之後的遞歸實現的
    """
    if len(li) <= 1:
        return [li]
    ret = []
    for i in range(len(li)):
        s1 = li[i:i + 1]  # 取出一個元素，組成一個列表
        rest = li[:i] + li[i + 1:]  # 剩余的元素組成一個列表
        p = perm(rest)
        for j in p:  # 叠代每一種排列
            ret.append(s1 + j)  # 和之前取出的1個元素進行拼接
    return ret
 

簡單驗證一下：

>>> perm([1, 2, 3])
[[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]]

遞歸算法比較費時，如果是9個數字的全排列，要1秒左右。如果數組更大比如(4, 4)就幾乎跑不完了：

995 ms ± 12.8 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

檢查函數

各種求和，然後進行檢查：

def is_lo_shu_square(arr):
    """接收numpy的二維數組"""
    if np.shape(arr)[0] != np.shape(arr)[1]:
        return  False
    d = np.shape(arr)[0]
    n = np.sum(arr) / d
    for i in np.sum(arr, axis=0):
        if i != n:
            return False
    for i in np.sum(arr, axis=1):
        if i != n:
            return False
    if np.sum(np.eye(d, dtype=int) * arr) != n:  # 檢查對角線
        return False
    if np.sum(np.eye(d, dtype=int)[::-1] * arr) != n:  # 檢查次對角線
        return False
    return True
 

簡單驗證一下：

>>> np.array(([1, 1], [1, 1]))
array([[1, 1],
       [1, 1]])
>>> a = np.array(([1, 1], [1, 1]))
>>> is_lo_shu_squar(a)
True

計算結果

>>> li = [i+1 for i in range(9)]
>>> for i in perm(li):
    a = np.array(i).reshape(3, 3)
    if is_lo_shu_square(a):
        print(a)

[[2 7 6]
 [9 5 1]
 [4 3 8]]
[[2 9 4]
 [7 5 3]
 [6 1 8]]
[[4 3 8]
 [9 5 1]
 [2 7 6]]
[[4 9 2]
 [3 5 7]
 [8 1 6]]
[[6 1 8]
 [7 5 3]
 [2 9 4]]
[[6 7 2]
 [1 5 9]
 [8 3 4]]
[[8 1 6]
 [3 5 7]
 [4 9 2]]
[[8 3 4]
 [1 5 9]
 [6 7 2]]
 

全排列（非遞歸）

標準庫itertools裏提供了排列的函數，算法比較復雜j就不研究了，順便還有組合的函數：

import itertools
>>> list(itertools.permutations([1, 2, 3], 3))
[(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)]
>>> list(itertools.combinations([1, 2, 3], 2))
[(1, 2), (1, 3), (2, 3)]

計算還是一樣的：

>>> li = [i+1 for i in range(9)]
>>> for i in itertools.permutations(li, 9):
    a = np.array(i).reshape(3, 3)
    if is_lo_shu_square(a):
        print(a)

[[2 7 6]
 [9 5 1]
 [4 3 8]]
[[2 9 4]
 [7 5 3]
 [6 1 8]]
[[4 3 8]
 [9 5 1]
 [2 7 6]]
[[4 9 2]
 [3 5 7]
 [8 1 6]]
[[6 1 8]
 [7 5 3]
 [2 9 4]]
[[6 7 2]
 [1 5 9]
 [8 3 4]]
[[8 1 6]
 [3 5 7]
 [4 9 2]]
[[8 3 4]
 [1 5 9]
 [6 7 2]]

整個計算過程的執行時間大致是從8秒提高到了6秒。時間上沒有本質的區別，並且如果要去計算更大的列表的全排列，比如16個元素的，兩種算法都是執行不完的。
不過非遞歸算法節省內存，整個過程中內存的分配不會有大的變化。而遞歸算法對內存的開銷是巨大的。

16宮格

上面的算法雖然也支持計算16宮格，但是算法復雜度太高，至少我的電腦上運行不出結果來。第一步16個元素的全排列就計算不完，2億億次（16! = 20,922,789,888,000）。
很明顯有些情況計算之後就能排除很多類似的情況。

數字分組（行的和相等）

先把16個數，分成4組，每組的和都相等，這就是將來每行的數字的集合：

def square_list(d):
    """選項4組數組，每組數組組成一行，並且和相等
    返回所有行的和都符合的二維元祖
    """
    nums = [i + 1 for i in range(d * d)]
    sum_line = sum(nums) // d
    # lines = itertools.combinations(nums, d)  # 4階共有1820個
    lines = (i for i in itertools.combinations(nums, d) if sum(i) == sum_line)  # 篩選後4階共有86個

    for square in itertools.combinations(lines, d):
        s = set()
        for line in square:
            for n in line:
                s.add(n)
        if len(s) == d*d:
            yield square  # 4階共有392個

這步能篩選出392種組合等待續操作。

調整每行的元素排列（列的行相等）

把上面的每種組合用下面的方法再做一次遍歷。每行的數字互相調整位置，使得每列的和也相等：

def square_list2(square, sum_line=None, skip=0, squares=None):
    """調整每行數字的排列，找到能使每列數字之和也相等的二維元祖
    返回的是所有列的和也都符合的二維元祖，
    這步之後4階能篩選出22896個
    :param square:
    :param sum_line: 第一次遞歸的時候計算出來
    :param skip: 第一次調整第0列，之後遞增
    :return:
    """
    column_count = len(square[0])
    if skip >= column_count:  # 遞歸的退出條件
        if squares is None:
            squares = []
        squares.append(square)
        return squares
    row_count = len(square)
    if sum_line is None:
        sum_line = sum(square[0])
    # 遍歷所有的情況，交換元素直到一列的和等於sum_line，
    # 然後遞歸調用處理後面的列，直到處理完所有的列
    for li in index_list(row_count, column_count-skip):
        sq = [list(i) for i in square]
        sum_list = []
        for i in range(row_count):
            sum_list.append(sq[i][li[i]+skip])
        if sum(sum_list) == sum_line:
            for j in range(row_count):
                sq[j][0+skip], sq[j][li[j]+skip] = sq[j][li[j]+skip], sq[j][0+skip]
            sq_tpl = tuple((tuple(i) for i in sq))
            squares = square_list2(sq_tpl, sum_line, skip + 1, squares)
    return squares

def index_list(lenth, notation):
    """返回一個下標的列表
    被square_list2調用，遍歷每一行取一個值的所有情況
    """
    counter = 0
    while True:
        n = counter
        li = []
        for i in range(lenth):
            n, index = divmod(n, notation)
            li.append(index)
        if n == 0:
            yield li[::-1]
            counter += 1
        else:
            break

這裏用了遞歸。另外遍歷下標的index_list函數用了取模取余的方式，做的是類似10進制轉4進制，然後每一位就是一個下標，最後把列表反轉之後返回了。
最後一個篩選出22896個數組，每個都是行和列的和都相等的。

調整行之間的排序（斜線相等）

這步不做計算了，只是遍歷。一個4行調整行之間的排列，一共是24種排列，也就是之前的基礎上的24倍的量，還是可以接受的。這裏就是4個元素的全排列了：

def square_list3(square):
    """調整行與行之間的排列順序，
    4階的全排列是24種情況，所以會再多24倍數的情況要遍歷
    每行以及每列的和都相等了，這樣調整會影響到斜線計算的結果"""
    return itertools.permutations(square, 4)

驗證函數

之前已經把可能符合條件的數組篩選到五十多萬個了，這裏只要再寫一個函數做最終的驗證就能把結果篩選出來了。這裏要驗證行的和、列的和、斜線的和。斜線的和不只是對角線，每個方向4條斜線一共8條斜線。另外再驗證4個角和中心4塊的和，不過這2步不影響結果，行和列是之前的篩選條件，也不影響結果，只是驗證結果正確。只要是通過斜線的計算把不符合的再篩掉一批：

def is_lo_shu_square4(arr):
    """接收numpy的二維數組"""
    if np.shape(arr)[0] != np.shape(arr)[1]:
        return False
    d = np.shape(arr)[0]
    n = np.sum(arr) / d
    for i in np.sum(arr, axis=0):
        if i != n:
            return False
    for i in np.sum(arr, axis=1):
        if i != n:
            return False
    # 檢查所有的斜線，包括對角線
    for i in range(d):
        if np.sum((np.eye(d, k=i, dtype=int) + np.eye(d, k=i-d, dtype=int)) * arr) != n:
            return False
        if np.sum((np.eye(d, k=i, dtype=int)[::-1] + np.eye(d, k=i-d, dtype=int)[::-1]) * arr) != n:
            return False
    # 到此能找到384個
    # 檢查4個角的4個數的和也要符合要求，不影響結果
    if np.sum(arr[:2, :2]) != n:
        return False
    if np.sum(arr[:2, -2:]) != n:
        return False
    if np.sum(arr[-2:, :2]) != n:
        return False
    if np.sum(arr[-2:, -2:]) != n:
        return False
    # 在檢查最中間的4個格子的和，不影響結果
    if np.sum(arr[1:3, 1:3]) != n:
        return False
    return True

48個完美解

所有符合要求的數組一共384個，這裏只輸出(0, 0)和(1, 1)的位置上是1的48個數組：

def main():
    count = 0
    for square in square_list(4):
        # 有可能返回空，因為不是每一種組合都一定能得到豎排和相等的矩陣
        squares2 = square_list2(square)
        if squares2:
            for square2 in squares2:
                for square3 in square_list3(square2):
                    a = np.array(square3)
                    if is_lo_shu_square4(a):
                        if a[0][0] == 1 or a[1][1] == 1:
                            count += 1
                            print(a)
    print(count)

下面貼上所有的48個數組，其他的數組只是這個基礎上的轉置和雙奇雙偶變換（把數組橫向或縱向位移2個單位）的結果：

[[ 1 14  4 15]
 [ 8 11  5 10]
 [13  2 16  3]
 [12  7  9  6]]
[[ 1 14  4 15]
 [12  7  9  6]
 [13  2 16  3]
 [ 8 11  5 10]]
[[ 1 15  4 14]
 [ 8 10  5 11]
 [13  3 16  2]
 [12  6  9  7]]
[[ 1 15  4 14]
 [12  6  9  7]
 [13  3 16  2]
 [ 8 10  5 11]]
[[11  8 10  5]
 [14  1 15  4]
 [ 7 12  6  9]
 [ 2 13  3 16]]
[[ 7 12  6  9]
 [14  1 15  4]
 [11  8 10  5]
 [ 2 13  3 16]]
[[10  8 11  5]
 [15  1 14  4]
 [ 6 12  7  9]
 [ 3 13  2 16]]
[[ 6 12  7  9]
 [15  1 14  4]
 [10  8 11  5]
 [ 3 13  2 16]]
[[ 1 12  6 15]
 [ 8 13  3 10]
 [11  2 16  5]
 [14  7  9  4]]
[[ 1 12  6 15]
 [14  7  9  4]
 [11  2 16  5]
 [ 8 13  3 10]]
[[ 1 15  6 12]
 [ 8 10  3 13]
 [11  5 16  2]
 [14  4  9  7]]
[[ 1 15  6 12]
 [14  4  9  7]
 [11  5 16  2]
 [ 8 10  3 13]]
[[13  8 10  3]
 [12  1 15  6]
 [ 7 14  4  9]
 [ 2 11  5 16]]
[[ 7 14  4  9]
 [12  1 15  6]
 [13  8 10  3]
 [ 2 11  5 16]]
[[10  8 13  3]
 [15  1 12  6]
 [ 4 14  7  9]
 [ 5 11  2 16]]
[[ 4 14  7  9]
 [15  1 12  6]
 [10  8 13  3]
 [ 5 11  2 16]]
[[ 1 12  7 14]
 [ 8 13  2 11]
 [10  3 16  5]
 [15  6  9  4]]
[[ 1 12  7 14]
 [15  6  9  4]
 [10  3 16  5]
 [ 8 13  2 11]]
[[ 1 14  7 12]
 [ 8 11  2 13]
 [10  5 16  3]
 [15  4  9  6]]
[[ 1 14  7 12]
 [15  4  9  6]
 [10  5 16  3]
 [ 8 11  2 13]]
[[13  8 11  2]
 [12  1 14  7]
 [ 6 15  4  9]
 [ 3 10  5 16]]
[[ 6 15  4  9]
 [12  1 14  7]
 [13  8 11  2]
 [ 3 10  5 16]]
[[11  8 13  2]
 [14  1 12  7]
 [ 4 15  6  9]
 [ 5 10  3 16]]
[[ 4 15  6  9]
 [14  1 12  7]
 [11  8 13  2]
 [ 5 10  3 16]]
[[ 1  8 10 15]
 [12 13  3  6]
 [ 7  2 16  9]
 [14 11  5  4]]
[[ 1  8 10 15]
 [14 11  5  4]
 [ 7  2 16  9]
 [12 13  3  6]]
[[ 1 15 10  8]
 [12  6  3 13]
 [ 7  9 16  2]
 [14  4  5 11]]
[[ 1 15 10  8]
 [14  4  5 11]
 [ 7  9 16  2]
 [12  6  3 13]]
[[13 12  6  3]
 [ 8  1 15 10]
 [11 14  4  5]
 [ 2  7  9 16]]
[[11 14  4  5]
 [ 8  1 15 10]
 [13 12  6  3]
 [ 2  7  9 16]]
[[ 6 12 13  3]
 [15  1  8 10]
 [ 4 14 11  5]
 [ 9  7  2 16]]
[[ 4 14 11  5]
 [15  1  8 10]
 [ 6 12 13  3]
 [ 9  7  2 16]]
[[ 1  8 11 14]
 [12 13  2  7]
 [ 6  3 16  9]
 [15 10  5  4]]
[[ 1  8 11 14]
 [15 10  5  4]
 [ 6  3 16  9]
 [12 13  2  7]]
[[ 1 14 11  8]
 [12  7  2 13]
 [ 6  9 16  3]
 [15  4  5 10]]
[[ 1 14 11  8]
 [15  4  5 10]
 [ 6  9 16  3]
 [12  7  2 13]]
[[13 12  7  2]
 [ 8  1 14 11]
 [10 15  4  5]
 [ 3  6  9 16]]
[[10 15  4  5]
 [ 8  1 14 11]
 [13 12  7  2]
 [ 3  6  9 16]]
[[ 7 12 13  2]
 [14  1  8 11]
 [ 4 15 10  5]
 [ 9  6  3 16]]
[[ 4 15 10  5]
 [14  1  8 11]
 [ 7 12 13  2]
 [ 9  6  3 16]]
[[ 1  8 13 12]
 [14 11  2  7]
 [ 4  5 16  9]
 [15 10  3  6]]
[[ 1  8 13 12]
 [15 10  3  6]
 [ 4  5 16  9]
 [14 11  2  7]]
[[ 1 12 13  8]
 [14  7  2 11]
 [ 4  9 16  5]
 [15  6  3 10]]
[[ 1 12 13  8]
 [15  6  3 10]
 [ 4  9 16  5]
 [14  7  2 11]]
[[11 14  7  2]
 [ 8  1 12 13]
 [10 15  6  3]
 [ 5  4  9 16]]
[[10 15  6  3]
 [ 8  1 12 13]
 [11 14  7  2]
 [ 5  4  9 16]]
[[ 7 14 11  2]
 [12  1  8 13]
 [ 6 15 10  3]
 [ 9  4  5 16]]
[[ 6 15 10  3]
 [12  1  8 13]
 [ 7 14 11  2]
 [ 9  4  5 16]]

16宮格的完美解：
將16個自然數1至16填入16宮格中，是4橫、4豎、8斜的4數之和相等，且等於組成14個正方形的4個頂點的數之和（這個沒驗證）。共48個解。
完美解的16宮格模型如下：

當年奧數教的16宮格還不是這裏的完美解：

小結

用到了很多零碎的知識：

• 排列、組合
• 遞歸（比較搞腦筋）
• 取模、取余（用著不難，關鍵是要想到用這個方法來遍歷所有下標的情況來解決問題）
• 列表的反轉（這個算是小技巧）
• 次對角線全1的矩陣（做一次反轉即可）
• 二維數組轉90度（還是列表反轉的技巧，反轉加轉置後就是，這裏沒用到）
• 線性代數（只是簡單的用乘法算一下對角線上的數字之和）
• 16宮格的48個完美解（當年老師奧數只教了1種）

九宮格問題、16宮格